Сходимость ряда.

[CnapTaK]

Ребят, помогите пожалуйста доказать сходимость ряда. Подскажите с чего начать.
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2^n})$

[ИСН]

Это не ряд.

[CnapTaK]

Извините - сходимость последовательности.

[Sasha2]

Начните с того, что она монотонна и ограничена и сверху и снизу.

[ИСН]

Короче, обратите внимание, как ведёт себя логарифм этой штуки (вот он-то, кстати да, ряд).

[CnapTaK]

а вот снизу чем она ограничена. если бы было $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})...(1+\frac{1}{2^n})$, то логарифмы были бы меньше $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\frac{1}{2^n}< .... < 1$.
а тут как?

[ИСН]

Нулём. Этого мало? Если мало, то надо что-то мутить.
Я обычно ссылаюсь на факт, что если $\sum a_i$ сходится, то и $\prod(1+a_i)$ - тоже.

[Mitrius_Math]

CnapTaK в сообщении #366905 писал(а):

Ребят, помогите пожалуйста доказать сходимость ряда. Подскажите с чего начать.
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2^n})$

Больше похоже на бесконечное произведение...

[Padawan]

ИСН в сообщении #366987 писал(а):

Я обычно ссылаюсь на факт, что если $\sum a_i$ сходится, то и $\prod(1+a_i)$ - тоже.

Это не верно. Контрпример $a_i=\frac{(-1)^i}{\sqrt i}$.
Чтобы утверждение было верным, надо написать "абсолютно сходится".

[NNDeaz]

Mitrius_Math в сообщении #367130 писал(а):

CnapTaK в сообщении #366905 писал(а):

Ребят, помогите пожалуйста доказать сходимость ряда. Подскажите с чего начать.
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2^n})$

Больше похоже на бесконечное произведение...

Почему бесконечное, мне сначало показалось, что это

$$\prod\limits_{k = 1}^n {(1 - \frac{1}{{{2^k}}})} $$