Как доказать что последовательность расходится?

[Demurg2000]

Например последов sin(n)

[Brukvalub]

От противного, сдвиньте номер члена последовательности на 1 и тогда последовательность cos(n) тоже сойдется к 0, что противоречит осн. триг. тождеству.

Добавлено спустя 20 минут 12 секунд:

Прошу прощения, в предыдущем своем сообщении я написал, как доказать, что эта последовательность не сходится к нулю. А для Вашего вопроса нужно использовать несоизмеримость числа пи с 1 и принцип ящиков Дирихле- тогда Вы сможете доказать, что множество частичных пределов этой последовательности состоит из более, чем одной точки, что противоречит сходимости.

[RIP]

А можно перейти к пределу в равенствах

$$\sin(n+1)+\sin(n-1)=2\sin n\cos1;$$

$$\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\cos n\sin1.$$

[UksusoFF]

Народ! Помогите плз доказать что последовательность {Xn} = 1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/n) расходиться

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Очень надо седня!!!

[Руст]

Суммируйте по от n-го до 2n-го и т.д.
Всвязи с синусами имеется задача. Доказать, что $(sin n)^{n^2}$ расходится.

[Genrih]

UksusoFF писал(а):

доказать что последовательность {Xn} = 1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/n) расходиться

Попробуйте доказать, что, к примеру, сумма
$\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{n}$ больше некоего положительного числа для всех $n$.

[UksusoFF]

Genrih писал(а):

Попробуйте доказать, что, к примеру, сумма
$\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{n}$ больше некоего положительного числа для всех $n$.

Последовательность
s(n)=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n - расходится.

Цитата:

Чтобы доказать это достаточно показать что последовательность неограничена.

Возьмем =2^k: ( ^ - означает "в степени")
Тогда s(n)=s(2^k) =
= 1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+
+1/[2^(k-1)+1]+1/(2^k) =>
=> 1+1/2+2/2^2+ ... +2^(k-1)/2^k = 1+k/2 > k/2

Отсюда следует что для любого M>0, всегда можем найти такой n=2^k, что s(n) > k/2 > M. Для этого достаточно выбрать k > 2*M.
Следовательно последовательность s(n) - не ограничена и расходится

Блин обьясните мне тупому человеку что такое М

[nworm]

UksusoFF писал(а):

Народ! Помогите плз доказать что последовательность {Xn} = 1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/n) расходиться

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Очень надо седня!!!

Доказательство расходимости гармонического ряда есть, например, в книге

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислния, том II.

Доказательство можно найти с помощью алфавитного указателя книги.

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

M - любое действительное число, большее 0.

[UksusoFF]

nworm писал(а):

M - любое действительное число, большее 0.

Спасибо!!!!

[Genrih]

RIP писал(а):

А можно перейти к пределу в равенствах

$$\sin(n+1)+\sin(n-1)=2\sin n\cos1;$$

$$\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\cos n\sin1.$$

Хм, для етого над доказать существование предела ...

[незваный гость]

Genrih писал(а):

Хм, для етого над доказать существование предела ...

Фокус в том, что не надо. Надо предположить его существование, и придти к противоречию.

[RIP]

Genrih писал(а):

RIP писал(а):

А можно перейти к пределу в равенствах

$$\sin(n+1)+\sin(n-1)=2\sin n\cos1;$$

$$\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\cos n\sin1.$$

Хм, для етого над доказать существование предела ...

Док-во ведется от противного(доказывается как раз отсутствие предела)

Добавлено спустя 56 секунд:

незваный гость писал(а):

:evil:

Genrih писал(а):

Хм, для етого над доказать существование предела ...

Фокус в том, что не надо. Надо предположить его существование, и придти к противоречию.

Опередил

[Genrih]

Спасибо, но мне все-равно не нравится.
Примеров можно насобирать кучу: где предел будет удовлетворять квдратному уравнению (т.е. имея два предела).
Вот тоже такой каламбур: последовательность $a_1=1, a_{n+1}=a_n+\sqrt{1+a_n^2}$. Осуществив предельный переход, выйдем в комплексное поле, однако ...

[Brukvalub]

Genrih писал(а):

Спасибо, но мне все-равно не нравится.
Примеров можно насобирать кучу: где предел будет удовлетворять квдратному уравнению (т.е. имея два предела).
Вот тоже такой каламбур: последовательность $a_1=1, a_{n+1}=a_n+\sqrt{1+a_n^2}$. Осуществив предельный переход, выйдем в комплексное поле, однако ...

При вычислении предела рекуррентно заданных последовательностей сначала доказывают существование этого предела, и только потом переходят к пределу в рекуррентном выражении для его вычисления. Приведенный Вами пример некорректен, поскольку заданная формуой последовательность расходится к плюс-бесконечнсти.

[незваный гость]

Genrih писал(а):

выйдем в комплексное поле, однако ...

"""Мы с тобою гуляли по // комплексным полям"""
А зачем нам выходить в комплексное поле? После того, как мы получили, что решения нет (в поле вещественных), Нам более ничего не надо — наше предположение о существовании предела уже привело к противоречию.

Этот метод не всегда работает. Более того: $a_0 = 0, a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n^2 - 1}$, корень существует, но предела нет. Мы можем сделать вывод только из противоречия, мы не можем сделать никакого вывода из его, противоречия, отсутствия.