Помогите с системой уравнений!

[Rooks]

Дана такая система:

$ \left\{ \begin{array}{l} x^4 - y = 15,\\ x^3y - xy^3 = 6, \end{array} \right. $

Легко подбирается одна пара корней $\ (2, 1) $.
Мысли крутились вокруг замены переменных вроде $\ x^2-y^2 = u, xy=v $ , когда второе уравнение системы сводится к $\ uv = 6 $.
Тогда $\ u^2+2v^2 = x^4 + y^4 $, но как в первом уравнении $\ (x^4 - y)$ выразить через $\ u$ и $\ v$ - не вижу.

Еще смотрел такой вариант:

$$\left\{ \begin{array}{l} x^4 - y = 15,\\ x^3y - xy^3 = 6, \end{array} \right \left\{ \begin{array}{l} (x-\sqrt[4]{y+15})(x+\sqrt[4]{y+15})(x^2 + \sqrt{y+15}) = 0,\\ xy(x+y)(x-y) = 6, \end{array} \right. $$

Прошу совета.

[Kitozavr]

В верхнем уравнении приравняйте все скобки по-очереди к нулю.

[Null]

Тут еще 4 иррациональных действительных корня.

[Someone]

Rooks в сообщении #363607 писал(а):

Дана такая система:

$\left\{ \begin{array}{l}x^4 - y = 15,\\ x^3y - xy^3 = 6.\end{array} \right.$

Я бы предположил, что в условии опечатка, и на самом деле система имеет вид
$\begin{cases}x^4-y^4=15,\\ x^3y-xy^3=6.\end{cases}$
Тогда можно разделить первое уравнение на второе и подставить $y=tx$.

Kitozavr в сообщении #363611 писал(а):

В верхнем уравнении приравняйте все скобки по-очереди к нулю.

И что потом делать?

Null в сообщении #363612 писал(а):

Тут еще 4 иррациональных действительных корня.

Да.
$\{x=2{,}0000000000000000000,y=1{,}0000000000000000000\},$
$\{x=-2{,}0403040641319548476,y=2{,}3292424780526744175\},$
$\{x=0.0017777778027531334546,y=-14.999999999990011278\},$
$\{x=1{,}8902041305550898159,y=-2{,}2345881357004844361\},$
$\{x=2{,}0112047801238245726,y=1{,}3615773638884105677\}.$
И ещё 8 комплексных.

[ИСН]

Мы здесь, Rooks, приучены жизнью, что верить никому нельзя. Вот я и думаю, что в верхнем уравнении пропущена одна ма-а-аленькая циферка...

-- Вт, 2010-10-19, 19:02 --

чёрт, опередили.

[Rooks]

Kitozavr в сообщении #363611 писал(а):

В верхнем уравнении приравняйте все скобки по-очереди к нулю.

Спасибо, уже пробовал.
Первые две скобки сводятся к первоначальному уравнению,
а $\ (x^2 + \sqrt{y+15}) = 0 $ дает еще одну пару корней $\ (0;-15)$, но она не удовлетворяет второму уравнению системы, так что отметается.

Насчет правильности условия.
Буду надеяться, что вы правы. Если вверху действительно закралась ошибка, то оно действительно оказывается несложным.
Благодарю за помощь.

[Виктор Викторов]

Someone прав. Rooks! Вам не нужны иррациональности. Там уравнение четвертой степени, которое раскладывается на четыре множителя за четыре минуты.

[Rooks]

Someone , ИСН, спасибо! Там действительно была ошибка в условии.
Ну и привожу свое решение, чтоб закрыть тему, и может кому еще пригодится.

$\begin{cases}x^4-y^4=15,\\ x^3y-xy^3=6.\end{cases}$

$\begin{cases} \frac {x^2+y^2}{xy} = \frac {5}{2},\\ xy(x+y)(x-y)=6.\end{cases}$

$\ \frac {x}{y} + \frac {y}{x} = \frac 5 2 $, заменяем $\ \frac {x}{y} = t $

$\ t^2 - \frac 5 2t + 1 = 0 $

$\ \left[ \begin{array}{1} t = 2,\\ t = \frac 1 2 \end{arrey} \right. $

$\ \left[ \begin{array}{1} \begin{cases} \frac x y = 2,\\ xy(x+y)(x-y)=6 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac x y = \frac 1 2,\\ xy(x+y)(x-y)=6 \end{cases} \end{arrey} \right. $

$$\ \left[ \begin{array}{1} \begin{cases} y = \frac 1 2 x,\\ \frac{3x^4}{4} = 6 \end{cases} \\ \begin{cases} y = 2x,\\ x^4= -1 \end{cases} \end{arrey} \right. $

$\ \begin{cases} y = \frac 1 2 x,\\ x^4 = 16 \end{cases} $

$\ x_1 = 2 , y_1 = 1 $
$\ x_2 = -2 , y_2 = -1 $