1. "Для псевдоевклидовой плоскости, например, экстремальное расстояние от точки до прямой не минимально, а максимально."
Говоря о прямой мы говорим об евклидовой прямой? Прямая для псевдоевклидовой метрики будет уже соответствовать евклидовой кривой. Правильно?
Если опустить евклидовый перпендикуляр из точки на прямую, то он соответствует максимуму псевдоэвклидовой метрики. Вы про это говорите?
Говоря о прямой на псевдоевклидовой плоскости обычно имеют ввиду именно псевдоевклидову, а не евклидову прямую или кривую. В противном случае получится сплошная путаница.
С другой стороны, если на евклидовой плоскости расстояние по прямой между двумя точками обладает минимальной длиной, то на псевдоевклидовой (если прямая не лежит на световом конусе) - максимальной длиной (лучше говорить - интервалом).
2. По-моему очень важный момент. Говоря про псевдоевклидову плоскость мы рассматриваем точки с координатами . Но эти координаты - евклидовы, тоесть мы их взяли из декартовой системы координат, мы опускали евклидовы перпендикуляры из точки на евклидово ортогональные оси. Само понятие "координата" должно изменится.
Вы путаете координаты в аффинном пространстве (где нет метрики) и ортогональные координаты в пространстве с евклидовой или c псевдоевклидовой метрикой. Обычно такие координаты не совпадают. И обычно на псевдоевклидовой плоскости координаты с правилом опускания перпендикуляра, работающее на евклидовой плоскости, не используют. Либо аффинные координаты, либо ортогональные псевдоевклидовы, либо, грубо говоря, псевдоевклидовы косоугольные. Особых открытий тут нет, хотя возможности псевдоевклидовой плоскости, особенно в применении к физическим задачам, до сих пор относительно слабо изучены.. Последнее связано с тем, что из всех многомерных псевдоевклидовых пространств, в случае двух измерений плоскости, группа ее конформных преобразований бесконечномерна. Во всех остальных случаях аналогичная группа конечномерна и в некотором смысле двумерное и более мерное псевдоевклидово пространство сильно отличаются друг от друга (как, впрочем, евклидова плоскость и многомерные евклидовы пространства, где наблюдается такая же ситуация с конформными симметриями). Ну да это я ушел сильно в сторону.
Расстояние от точки до прямой (например до оси системы координат) мы привыкли связывать с координатой точки. В финслеровых пространствах, если экстремумов несколько, само понятие "координата точки" должно меняться. Нет проекции вектора на вектор, раз он проектируется сразу в несколько мест.
Во-первых, никто и ничто не запрещает пользоваться аффинными координатами, которым до метрики фиолетово. Во-вторых, в линейных финслеровых пространствах можно пользоваться и "ортогональными" (кавычки поставлены потому, что это уже финслерова ортогональность, или еще можно ее называть трансверсальностью) координатами, просто при этом требуется уточнить, какой тип трансверсальности имеется ввиду. Грубо говоря, у вектора в линейном финслеровом пространстве с полилинейной симметрической формой от нескольких векторов вместо скалярного произведения, несколько "ортогональных" координат. Работать можно с любым набором, нужно лишь следить, что бы их не перепутать.
Но примерно такая же ситуация имеется даже на евклидовой плоскости. Вы имеете полное право работать как с аффинными координатами вектора, так и с полученными при помощи опускания перпендикуляров на оси, но при желании можете договориться опускать на координатные оси не перпендикуляры, а прямые, например, под углом тридцать градусов. Ничего страшного при этом не случится, появится лишь ненужная громоздкость и необходимость выработки новых привычек работы с такими "косыми" координатами.
Как насчет расстояния от точки до плоскости (до объема, ...), тут тоже множество экстремумов?
Естественно.
в прямой сумме 
. Речь о том, что все эти три вектора в метрике 
и 
. Перечитайте слитно сами исходный пост.
. Тут как впрочем и в 
обратное неравенство выполняется для векторов из одинакового сектанта (у которых знаки в каждой компоненте одинаковые. В этом случае обратное неравенство получается из известного неравенства ![$$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |a_i+b_i|}\ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |a_i|}+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |b_i|}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/3/5c3c0d661011d775c3b1759b104bb21382.png "$$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |a_i+b_i|}\ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |a_i|}+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n |b_i|}.$$")
. Но эти координаты - евклидовы, тоесть мы их взяли из декартовой системы координат, мы опускали евклидовы перпендикуляры из точки на евклидово ортогональные оси. Само понятие "координата" должно изменится.
означает, что ЕВКЛИДОВО расстояние по оси 
до начала координат равно 
а по оси 
равно 
. Теперь же мы вводим на этих координатах псевдоевклидову метрику. Теперь растояние от точки до начала координат стало не 
а 
. Сомнение мое такое: Если уж у нас метрика псевдоэвклидова в пространстве, то какое право мы имеем опираться на координаты, полученные из евклидовой метрики 
? Если же, по чесному, не пользоваться евклидовыми расстояниями для получения координат точек, то как их найти? На примере, пожалуйста.
