Док-во теоремы(геометрия)

[maxmatem]

Если в многоугольнике выполнено условие $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cb\cos A$ ,то многоугольник является треугольником.
Это попытка сформулировать обратную к теореме косинусов.
вот доказать не получается.....

[Null]

Ну понятно. Что такое $a,b,c,A$ в многоугольнике?
Обратная: если $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cbcosA$ и $0<A<2\pi$, то треугольник сложить можно.

[Ponchik]

Самое простое доказательство:
В формуле присутствуют три стороны многоугольника, других нет, следовательно многоугольник состоит из трёх сторон. Поэтому он - треугольник.

[Sasha2]

maxmatem в сообщении #362965 писал(а):

Если в многоугольнике выполнено условие $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cb\cos A$ ,то многоугольник является треугольником.
Это попытка сформулировать обратную к теореме косинусов.
вот доказать не получается.....

В такой формулировке обратная теорема не верна. Можно легко построить многоугольник в котором три его стороны удовлетворяют этому соотношению. Простой контрпример - это "домик".

[maxmatem]

Sasha2. А не совсем понял какой домик? можете немного подробнее
(тот утверждение которое я сформулировал в начале темы, и есть обратная теорема к теореме косинусов)

[Sasha2]

Ну берете простой треугольник - это крыша.
Затем под ним пририсовывете квадрат, ну как детстве рисовали. Тогда пол равен балке, на которую опирается крыша. Крыша - это Ваши $a $и $b$, а пол - это $c$. Вот и все.

[ewert]

Это не совсем всё. Непонятно, кто будет в таком случае $A$.

Впрочем, это и с самого начала непонятно было. Какая-то таинственная задачка.

[maxmatem]

Да не такая уж и таинственная сколько, как я подозреваю бесполезная, но всё равно интересная..
Sasha2 а нужна ли эта балка? и вправду что тогда $A$ ?

[Sasha2]

$A$ будет, как обычно все тем же углом между двумя сторонами $a$ и $b$.
А c в данном случае (кдассичесского пятиугольника), той стороной, которая лежит против данного угла.
Впрочем для четырехугольников есть своя теорема косинусов, так что изобретать тут нечего.
Обратная же теорема для теоремы косинусов не имеет ценности, точно также как и в случае, когда в качестве прямой теоремы мы рассматриваем утверждение 2+2=4, обратная теорема вряд ли кого либо заинтересует.

[maxmatem]

я правильно понял : мы взяли квадрат со стороной $c$ и сверху одели крышу со сторонами $a$, $b$. Таким образом для треугольника(крыши) это условие выполнено, но вся фигура 5-угольник . поэтому т-ма неверна так?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #363101 писал(а):

$A$ будет, как обычно все тем же углом между двумя сторонами $a$ и $b$.

И ничего подобного, $A$ вообще никогда не бывает между $a$ и $b$ -- это несимметрично. И это не придирка.

[maxmatem]

тогда $A$ это угол между стороной $b$ и $c$

[ewert]

Тогда контрпример Sasha2, может, и сработал бы, да вот беда -- нет решительно никаких оснований ассоциировать в этом случае буковки $A$ и $a$. В общем, куды ни кинь -- всюду клин, а задачки -- нет.

[Sasha2]

Ну тогда еще проще. Каковы бы ни были три любые стороны a, b и c всегда можно построить многоугольник, чтобы тот угол, который мы пожелаем назвать углом A, удовлетворял указанному соотношению.

[maxmatem]

Sasha2 ну тогда ваш пример остается в силе .