(Оффтоп)
Легко показать, что все суммы нечётными быть не могут, т.к. для этого либо все исходные числа должны быть нечётными, либо около трети.
А вот 997 получить можно, например последовательностью из 250 нечётных чисел, а затем 250 троек (ччн).
(Оффтоп)
Респект!
А я доказала почти так же: Предположим, все суммы - нечётны. Тогда числа, порядковые номера которых дают одинаковые остатки при делении на 3, должны иметь одинаковую чётность (так как при переходе от данной тройки к следующей два числа сохраняются). Но это означает, что либо чётных не менее 666, либо нечётных.
А 997 получила наоборот. Сначала выписала 250 троек "нчч", затем - оставшиеся нечётные.