Как доказать, что функция принадлежит C^2

[alexey007]

Интересует самое простое доказательство следующего утверждения:

Если выполнены два условия:
1)${\Delta}U=0$
2)$U$ - дважды дифференцируема
то $U {\in} C^2$

[Полосин]

Насчет простоты - не знаю. См., например, В.П.Михайлов, Дифференциальные уравнения с частными производными, "Наука", 1976, стр. 209 и далее.

[moscwicz]

Хороший пост. Вот если, например,

alexey007 в сообщении #361663 писал(а):

2)$U$ - дважды дифференцируема

в открытой области т.е. имеет все непрерывные частные производные до второго порядка, то из этого сразу следует, что

alexey007 в сообщении #361663 писал(а):

$U {\in} C^2$

в этой области
и условия

alexey007 в сообщении #361663 писал(а):

${\Delta}U=0$

просто не нужно.
Но поскольку у аффтара $C^2$ это просто $C^2$ и не более того, а функция просто "дважды дифференцируема" (одному аффтару известно где и как), то гадать что он хотел сказать бессмысленно.

[Someone]

"Функция дважды дифференцируема" (в некоторой области) означает, что (в этой области) функция имеет второй дифференциал, но непрерывность вторых частных производных не предполагается. А условие $C^2$ требует непрерывности всех вторых частных производных. Поэтому вопрос имеет смысл.

[moscwicz]

а тогда утверждение следует просто из интегрального представления для гармонической функции в области

[alexey007]

moscwicz
А что за интегральное представление гармонической функции?

Я полистал учебник В.П.Михайлов, Дифференциальные уравнения с частными производными. Вроде бы нашел путь по которому нужно двигаться. В книге говориться об эквивалентном определение гармоничной функции $u$ через интегральное условие $\int\nabla u \nabla v dx=0$ где $v$ -финитная функция. У меня возник еще вопрос можно ли из условия $\Delta u=0$ и финитной функции $v$ получить интегрируя по частям условие $\int\nabla u \nabla v dx=0$?

[moscwicz]

alexey007 в сообщении #362117 писал(а):

У меня возник еще вопрос можно ли из условия $\Delta u=0$ и финитной функции $v$ получить интегрируя по частям условие $\int\nabla u \nabla v dx=0$?

так и делается

-- Fri Oct 15, 2010 09:57:55 --

alexey007 в сообщении #362117 писал(а):

А что за интегральное представление гармонической функции?

представление в котором значения гармонической функции внутри области выражаются через ее значения на границе и значения ее первых производных на границе

[Полосин]

moscwicz, исходная функция не является гармонической, и именно ее гармоничность нужно доказать.

[moscwicz]

Полосин
Для того чтобы указанное интегральное представление было верно в любой ограниченной области с гладкой границей, компактно принадлежащей области $D$ , достаточно чтобы $U\in C^1(D)$ и тодество $\Delta U=0$ выполнялось в обобщенном смысле в $D$. Это включает в себя условие задачи.
А дальше на здоровье доказывайте классическую гармоничность с помощью этого интегрального представления.

[Полосин]

Да, но каких усилий потребует доказательство этого утверждения?

[moscwicz]

Если интегральное равенство уже есть, то никаких не потребует. А вообще регуляризационные теоремы без усилий не доказываются.

[Полосин]

В условии задачи об интегральном представлении ничего не сказано. Таким образом, вопрос о простоте доказательства исходного утверждения остается открытым.

[moscwicz]

Полосин в сообщении #362516 писал(а):

В условии задачи об интегральном представлении ничего не сказано.

для человека, который слушал нормальный курс УРЧП это стондартный ход.

Полосин в сообщении #362516 писал(а):

Таким образом, вопрос о простоте доказательства исходного утверждения остается открытым.

Простота это понятие субъективное. Для иного и $2\times 2$ непостижимо.