Система 2 уравнения 2 неизвестных.

[shur]

$\[ \left\{ \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{21}x_2=b_1 \hfill \\ a_{12}x_1+a_{22}x_2=b_2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

При каких коэффициентах система имеет единственное решение?!

Предполагаю, что при
$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\ne 0$

Но при любой ли правой части это решение единственно? Если воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли, то нашелся ненулевой минор второго порядка...Но получается, что этот же ненулевой минор для расширенной матрицы годится...

[gris]

Совершенно верно. Неравенство нулю главного определителя означает единственность решений. Геометрически - непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются и ровно в одной точке.
При любой правой части. А вот если главный определитель равен нулю, то от правой части многое зависит. В теореме же говорится о неравенстве рангов матриц.

[shur]

gris в сообщении #362103 писал(а):

Совершенно верно. Неравенство нулю главного определителя означает единственность решений. Геометрически - непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются и ровно в одной точке.
При любой правой части. А вот если главный определитель равен нулю, то от правой части многое зависит. В теореме же говорится о неравенстве рангов матриц.

Спасибо!

По теореме Крон.-Кап. если ранги определять по минорам, то будет ли достаточно для единственности (любой системы $n$ на $m$),если ранг основной матрицы окажется не равным нулю?!

А если главный определитель равен нулю, то как дальше быть (если речь идет о системе $2$ на $2$) ? Искать ранги? или в случае 2 на 2 проще?!

[shur]

А понял! Если определитель основной матрицы равен нулю, то это значит, что ее ранг меньше числа неизвестных, а значит:
1) система имеет бесконечное множество решений, если этот ранг совпадает с рангом расширенной матрицы
2) система не имеет решений, если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной

Правильно!?!

[gris]

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда
ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы,

причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных,

и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Основная матрица может быть и не квадратной. Тогда у неё нет определителя.

[shur]

А да, точно, ведь основная матрица не обязана быть квадратной! Спасибо!
А для систем 2 уравнения, 2 неизвестных мое утверждение верно или нет?!

[gris]

В этом случае верно.

[shur]

Спасибо!
Дело в том, что интересно -- почему система (2 уравнения, 2 неизвестных) имеет единственное решение только в том случае, когда главный определитель равен нулю!
Это следствие теоремы Кронекера-Капелли или нет?!

[gris]

Вы имеете в виду - не равен нулю?
Если он равен, то либо бесконечное число решений либо их нет.
Прямые либо параллельны, либо совпадают.

[shur]

Да, я имел ввиду не равен)