Доказать независимость системы векторов

[arh123]

Помогите пожалуйста с задачей. Есть система функций $ \sin x , \cos x $ над $ \mathbb{R} $. Необходимо доказать ее линейную независимость. Я понимаю как доказывается зависимость, нужно указать нетривиальную линейную комбинацию, равняющуюся нулю, но как показать что такой комбинации нет, в данном случае не понимаю. Прошу направить меня в нужную сторону.

[gris]

А вы предположите, что комбинация существует и подставьте туда пару значений икс.

[arh123]

Не понимаю, как перебор значений икс поможет. Где гарантия, что я не упустил значения икс, при которых такая комбинация существует? Или, если такая комбинация существует, то она должна существовать при всех икс?

[Padawan]

попробуйте подставить в лин. комбинацию $x=0$, что получится?

[Someone]

Она должна быть одна и та же для всех $x$. Там пара неизвестных коэффициентов, для их нахождения нужна пара уравнений...

[arh123]

Понял, большое спасибо

[ewert]

arh123 в сообщении #355861 писал(а):

но как показать что такой комбинации нет, в данном случае не понимаю.

Линейная независимость $n$ функций означает, что из тождественного равенства нулю некоторой их линейной комбинации следует равенство нулю коэффициентов этой комбинации. Для этого достаточно, чтобы равенство нулю коэффициентов следовало из равенства нулю такой комбинации в каких-либо $n$ различных точках. Т.е.: чтобы доказать линейную независимость функций, достаточно взять соотв. количество различных точек, для каждой построить столбец, состоящий из значений всех функций в этой точке, и убедиться в линейной независимости этих столбцов.