Система д/у в ч/п:численное решение, сходимость

[Prof]

Есть система д/у в ч/п вида $\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {f_1}(x,p),\,\,\,\,(1)}\\ {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} = {f_2}(x,z).\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.\]$ с нулевыми граничными условиями требуется найти неизвестные функции z(x), p(x). Решение нашел с помощью такого метода:
z(x) представляется в виде ряда с неизвестными коэффициентами, которые в ходе решения системы находятся по методу Бубнова-Галеркина; функция p(x) находится подстановкой z(x) в уравнение (2). Подскажите: как найти скорость сходимости такого метода и какие еще есть методы решения подобных систем; какое условие существования единственного решения данной системы достаточно (необходимым условием является ортогональность по всем функциям);

[terminator-II]

Prof в сообщении #354313 писал(а):

Есть система д/у в ч/п вида $\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {f_1}(x,p),\,\,\,\,(1)}\\ {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} = {f_2}(x,z).\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.\]$ с

это система обыкновенных ДУ, а не в частных произвлдных , со всеми вытекающими отсюда последствиями для численного счета



-- Mon Sep 20, 2010 17:25:54 --

Prof в сообщении #354313 писал(а):

Решение нашел с помощью такого метода:
z(x) представляется в виде ряда с неизвестными коэффициентами, которые в ходе решения системы находятся по методу Бубнова-Галеркина; функция p(x) находится подстановкой z(x) в уравнение (2).

Если это и метод, то описан он невнятно, мягко говоря.

Prof в сообщении #354313 писал(а):

условие существования единственного решения данной системы достаточно (необходимым условием является ортогональность по всем функциям);

Вот это уже жестоко. Особенно при том, что речь идет о нелинейной системе. Я даже боюсь спрашивать, что сей профЭссор мнит под ортогональностью

[alphard]

действительно, это скорее система ОДУ, странновато как-то..

[Prof]

По поводу системы – это частный случай, в общем виде система выглядит так

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {Az(x) = {f_1}(x,p(x),z(x)),\,\,\,\,(1)}\\ {Ap(x) = {f_2}(x,p(x),\,z(x)).\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$$

, где $x = ({x_1},\,{x_2},\,...,\,{x_n})$ , А – эллиптический оператор.
Относительно метода, алгоритм такой:
1) Приближенное решение для z(x), запишем в виде ряда $z = {\alpha _0} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}{\varphi _i}^N(x)} \,\,\,(3)$, где N – номер итерации, ${{\alpha _i}}$ - неизвестные коэффициенты, ${{\varphi _i}}$ - базисные функции. Для того, чтобы функция z(x) – являлась решением (1), необходимо, чтобы $\int {X{\varphi _j}(x)dx} = 0\,\,\,\,j = \overline {1,\,N} $ (условие ортогональности), где $X = Az - {f_1}\,\,(4)$.
2) Подставляя z(x) в функцию X, а X в выражение (4) и интегрируя, находим неизвестные ${{\alpha _i}}$.
3) Таким образом, находим решение z(x), а затем и p(x).

[terminator-II]

Prof в сообщении #354648 писал(а):

необходимо, чтобы $\int {X{\varphi _j}(x)dx} = 0\,\,\,\,j = \overline {1,\,N} $ (условие ортогональности),

Во-первых это не условия ортогональности, этот равенство означает, что все коэффициенты Фурье функции $X$ равны нулю, а условия ортогональности это совсем другое. И поэтому (во-вторых ) это условие не только необходимо ,но и достаточно для обращения в ноль функций $X$.

И в-третьих зделать вот это

Prof в сообщении #354648 писал(а):

Подставляя z(x) в функцию X, а X в выражение (4) и интегрируя, находим неизвестные ${{\alpha _i}}$.

невозможно, поскольку $X$ зависит от функции $p$, которую мы еще не нашли.

Да и вообще с чего Вы взяли, что эта система имеет решения, даже скалярное полулинейное эллиптическое уравнение с условиями Дирихле решаться не обязано.

%%%%%%%%%%%%%%%%%

Условия ортогональности. Пусть $A: H\to H$ нерерывный оператор с замкнутым образом
в гильбертовом пространстве . Тогда уравнение $Ax=b$ имеет решения тогда и только тогда когда $b\perp\ker A^*$.

[Prof]

Извиняюсь забыл написать, что система рассматривается в Гильбертовом пространстве. Поэтому

$$\int {X{\varphi _j}(x)dx} = 0$$

тоже, что и равенство

$$(X,\,{\varphi _j}(x)) = 0$$

, а это является условием ортогональности. Для того, что бы X не зависело от p, можно во второе уравнение подставить (3) и решить полученное равенство относительно p(x).
А на счет существования решения, если наложить определенные требования к функциям f1 и f2, то будет и притом единственное.

[terminator-II]

Prof в сообщении #354729 писал(а):

система рассматривается в Гильбертовом пространстве.

в каком именно?

Prof в сообщении #354729 писал(а):

можно во второе уравнение подставить (3)

не понял, вот третье уравнение

Prof в сообщении #354648 писал(а):

да $z = {\alpha _0} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}{\varphi _i}^N(x)} \,\,\,(3)$

как подставить в него второе?

Prof в сообщении #354729 писал(а):

если наложить определенные требования к функциям f1 и f2, то будет и притом единственное.

какие именно требования?

[Prof]

Соболевское пространство.
Все просто берем выражение

$$z = {\alpha _0} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}{\varphi _i}^N(x)} \,\,\,(3)$$

и его подставляем в

$${Ap(x) = {f_2}(x,p(x),\,z(x)).\,\,\,\,(2)}$$

получаем выражение

$${Ap(x) = \widetilde {{f_2}}(x,p(x))}$$

решая его получаем p(x).
Пусть $\[{f_1},\,{f_2} \in {L_2}(G)\]$, где G - ограниченная область с кусочно гладкой границей.

[terminator-II]

Prof в сообщении #354886 писал(а):

Соболевское пространство.

какое именно Соболевское?

Prof в сообщении #354886 писал(а):

Все просто берем выражение

$$z = {\alpha _0} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}{\varphi _i}^N(x)} \,\,\,(3)$$

и его подставляем в

$${Ap(x) = {f_2}(x,p(x),\,z(x)).\,\,\,\,(2)}$$

получаем выражение

$${Ap(x) = \widetilde {{f_2}}(x,p(x))}$$

У Вас коэффициенты разложения $z$ должны быть известны к этому моменту, откуда Вы их возьмете?

Prof в сообщении #354886 писал(а):

Пусть $\[{f_1},\,{f_2} \in {L_2}(G)\]$, где G - ограниченная область с кусочно гладкой границей.

То есть как в ограниченной области? У Вас функции $f_1,f_2$ зависят от неизвестных $z$ и $p$ как Вы можете утверждать a priori каково множество значений у этих неизвестных?

[Prof]

Соболевское пространство вида $\[{W_0}^{2,2}(G)\]$, также $\[p,\,z \in {W_0}^{2,2}(G)\]$. Неизвестные коэффициенты $\[{\alpha _i}\]$ находятся на последнем этапе, только после этого окончательно определяется p(x) и z(x). Если бы область была не ограниченна, то о существовании единственного решения сложно говорить.

[terminator-II]

Prof в сообщении #355027 писал(а):

Соболевское пространство вида $\[{W_0}^{2,2}(G)\]$, также $\[p,\,z \in {W_0}^{2,2}(G)\]$

а эллиптический оператор $A$ какого порядка?
По прежнему непонятно про область $G$. Вы пишите

Prof в сообщении #354886 писал(а):

Пусть $\[{f_1},\,{f_2} \in {L_2}(G)\]$,

при этом у Вас $f_1,f_2$ это функции аргументов $x,p$ и $x,z$ соответственно, и вдруг теперь оказываетмся, что $x\in G$ ибо Вы также пишите

Prof в сообщении #355027 писал(а):

е $\[p,\,z \in {W_0}^{2,2}(G)\]$

. Это несуразица.

Prof в сообщении #355027 писал(а):

Неизвестные коэффициенты $\[{\alpha _i}\]$ находятся на последнем этапе, только после этого окончательно определяется p(x) и z(x).

Я даже могу допустить, что Вы выйдите из логического круга и напишите уравнение на коэффициенты $\alpha_i$. Оно ничем не будет проще исходной системы. Если Вы считаете, что я неправ, покажите хотя бы как Вы найдете $\alpha_0$