Проверка замкнутости

[fish-ka]

Здравствуйте. Проверяю следующее: если $X$ - унитарное пространство, $M\subset X, M $ совпадает со своим вторым ортогональным, то $M$ - замкнуто. И еще надо показать, что обратное, вообще говоря, не верно, то есть из замкнутости не следует ортогональная замкнутость.

Итак, если $f_n \in M, f_n\to f $, то надо проверить, что $f\in M$. Так как $f\in X$, то $f=g+h, g\in M, h\in M$ с ортогональным дополнением. Дальше были попытки воспользоваться непрерывностью скалярного произведения, теоремой Пифагора, но все не то.
А обратное, я так понимаю, из того, что это равенство ($M $ совпадает со своим вторым ортогональным) не верно для унитарных пространств, так?

[ewert]

fish-ka в сообщении #354136 писал(а):

не верно для унитарных пространств, так?

А что такое "унитарное пространство"?... Обычно под ним понимают конечномерное (иначе говорят "гильбертово" или "предгильбертово"). Но в конечномерном пространстве весь этот трёп насчёт замкнутости вообще неуместен. Кроме того: что такое "М"?... если это подмножество не есть линейное, то все вопросы опять же праздны. Какая-то терминологическая путаница.

[fish-ka]

Унитарное пространство - это векторное пространство со скалярным произведением, не обязательно конечномерное. М - линейно, конешно (если Вы понимаете под линейностью замкнутость относительно линейных операций), простите за неточности.

[ewert]

Поправки понял. Но вникнуть не могу, т.к. по-прежнему не вполне понимаю терминологию. Если пространство воистину гильбертово (т.е. не только со скалярным произведением, но ещё и полно, сиречь банахово) -- то замкнутость равносильна "ортогональной замкнутости". А что там в предгильбертовых -- не знаю, как-то не сталкивался.

[fish-ka]

А откуда получается это утверждение для гильбертовых пространств?

[terminator-II]

Ортогональное дополнение к подпространству (не обязательно замкнутому) гильбертова пространства замкнуто

[fish-ka]

Понятно, спасибо.
У меня, кажется получилось утверждение. Еще раз покрутил с переходом к пределу в скалярном произведении.

Всем спасибо!

[ewert]

terminator-II в сообщении #354166 писал(а):

Ортогональное дополнение к подпространству (не обязательно замкнутому) гильбертова пространства замкнуто

Это доказывает лишь прямое утверждение (что из "ортогональной замкнутости" следует замкнутость). Обратное утверждение существенно более нетривиально.

В гильбертовом случае утверждение о том, что из замкнутости следует "ортогональная замкнутость", опирается на тот факт, что всё пространство является прямой суммой исходного подпространства и его ортогонального дополнения. Который, в свою очередь, следует из теоремы о проекции, а она в предгильбертовых (т.е. не полных) пространствах не верна. Но это -- ещё не опровержение. Для опровержения обратного утверждения в предгильбертовом случае надо строить контрпример.

[terminator-II]

Контрпример такой. Берем гильбертово пространство $H,(\cdot,\cdot)_1$ и предгильбертово неполное $F,(\cdot,\cdot)_2$ И рассмотрим пространство $H\oplus F$ со скалярным произведением
$(u+v,p+q)=(u,p)_1+(v,q)_2$

[ewert]

terminator-II в сообщении #354379 писал(а):

Контрпример не проблема. Берем гильбертово пространство $H,(\cdot,\cdot)_1$ и предгильбертово неполное $F,(\cdot,\cdot)_2$ И рассмотрим пространство $H\oplus F$ со скалярным произведением
$(u+v,p+q)=(u,p)_1+(v,q)_2$
Т.е. пространство $H$ замкнуто, ортогональное дополнение к нему $F$ не замкнуто.

Это почему это оно не замкнуто? Как подмножество ортогональной суммы -- замкнуто.

Я думал в эту сторону. Нет, с ортогональными суммами не выйдет.

[terminator-II]

fish-ka в сообщении #354136 писал(а):

Здравствуйте. Проверяю следующее: если $X$ - унитарное пространство, $M\subset X, M $ совпадает со своим вторым ортогональным, то $M$ - замкнуто. И еще надо показать, что обратное, вообще говоря, не верно, то есть из замкнутости не следует ортогональная замкнутость.

Странно
Как вообще такое :

fish-ka в сообщении #354136 писал(а):

из замкнутости не следует ортогональная замкнутость.

может быть?

А как ортогональное дополнение может не быть замкнутым даже в предгильбертовом пространстве? Вот $X, (\cdot,\cdot)$ -- предгильбертово пространство и $M\subset X$.
Берем$\{a_k\}\subset M^\perp$ такую, что $a_k\to a$. Из того, что $(a_k,x)=0$ для всех $x\in M$ и для вех$k$, переходя к пределу имеем$(a,x)=0$ и $a\in M^\perp$. Ну и соответственно $M^{\perp\perp}$ тоже замкнуто независимо от $M$.

[ewert]

terminator-II в сообщении #354430 писал(а):

Странно
Как вообще такое :

fish-ka в сообщении #354136 писал(а):

из замкнутости не следует ортогональная замкнутость.

может быть?

Странно.

terminator-II в сообщении #354430 писал(а):

А как ортогональное дополнение может не быть замкнутым даже в предгильбертовом пространстве?

Не может, конечно. Т.е. из "ортогональной замкнутости" (т.е. $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}=M$) безусловно и очевидно следует замкнутость. Но ведь вопрос-то был обратным: следует ли из замкнутости ортогональная замкнутость.

[fish-ka]

Вроде такой контрпример верен, как Вы думаете?

Все пространство $X=lin\{e_0,e_1,e_2,...\}, e_0=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n}e_n$, а все остальные векторы - стандартные, как в $l_2$. $M=lin\{e_0,e_1\}$. Вроде бы такое множество замкнуто, не? Если нет, то можно взять замыкание этого множества. Тогда ортогональное дополнение к М - пустое множество, а значит второе ортогональное к М - все пространство, то есть нет ортогональной замкнутости.

[ewert]

fish-ka в сообщении #356458 писал(а):

Вроде бы такое множество замкнуто, не?

Конечно замкнуто, оно ж конечномерно.

fish-ka в сообщении #356458 писал(а):

Тогда ортогональное дополнение к М - пустое множество

А это ещё почему?... Существует куча линкомбинаций векторов, начиная со второго, которые (комбинации) откровенно ортогональны нулевому вектору. Ну а уж первому -- ортогональны просто по определению. Если я правильно понял, конечно.

(вообще, с конечномерными подпространствами надеяться на что-то не стоит)