Найти производные

[wall-e]

Дана функция:
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} e^{-1/x^2},x\not = 0,\\ 0, x=0 \end{array} \right. $

По-моему, очевидно, что все производные, начиная с первой, в точке 0 сущствуют и равны 0. а вот привести решение подробное и четкое не получается( помогите, пожалуйста)

[Alexey1]

Ищите производную по определению, то есть $f'(0)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$.

[ewert]

По индукции. Что первая производная равна нулю -- надеюсь, очевидно. Далее: каждая следующая производная в нуле -- это (по индукции) есть предел в нуле произведения некоторого многочлена от отрицательных степеней, причём не важно какого, а важно -- что на ту же самую экспоненту, что, очевидно, есть ноль.

[wall-e]

если делать по правилу Лопиталя то там получится после первого деффиринцирования что то типа lim $e^{2/x^3}$. Это как я понимаю слева стремится к нулю, а справа к бесконечности, так?

-- Вс сен 19, 2010 21:24:51 --

ewert
Да не надейтесь) очевидно)
ewert,Alexey1
спасибо)

[AKM]

wall-e в сообщении #354157 писал(а):

если делать по правилу Лапиталя...

Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, по-русски транскрибируется как Гийом Франсуа Антуан (...) Лопиталь.
Написано чисто из предположения, что Вам это небезынтересно; см. тж сабж.

[ewert]

wall-e в сообщении #354157 писал(а):

там получится после первого деффиринцирования что то типа lim $e^{2/x^3}$.

Получится, но только если не уметь дифференцировать. Как считается производная сложной функции?...