Неопределённый интеграл

[CheerfulCalf]

Подскажите, как начать решать этот пример? Думаю, что через замену, но вот только никак не придумаю, что брать под u. Никак не выходит.
$\int{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+1}}dx$

[ewert]

$x\equiv u^n$, где $n$ как можно меньше и притом такое, чтобы все корни извлекались

[CheerfulCalf]

$u=\sqrt[6]{x}$
$x=u^6$
$du=(u^6)'=6u^5dx$
$=\int{\frac{\sqrt[3]{u^6}}{\sqrt{u^6}+1}\cdot \frac{1}{6u^5}}dx=6\int{u^9}+6\int{u^3}=$
$=6\frac{u^{10}}{10}+6\frac{u^4}{4}+C=\frac{5}{3}(\sqrt[6]{x})^{10}+\frac{3}{3}(\sqrt[6]{x})^{4}+C$

я же говорю, не получается :(

[ewert]

Да.

[CheerfulCalf]

то есть такой ответ и будет??

-- Сб сен 18, 2010 09:40:51 --

нет... потерял деление.

если не терять, то прихожу к
$\int{\frac{du}{6u^9+6u^5}}$
и опять ступор.

[AD]

Тут уже ступора быть не может, потому что это есть банальный интеграл от рациональной функции. Про такие интегралы всё известно. Должно быть, во всяком случае. Ну то есть на простейшие дроби разлагайте, и т.д.

[ewert]

"Нет, ребяты -- всё не так,
Всё не так, ребяты..."

Дифференциал неверно выписан.

[gris]

Вообще если делать очень много маленьких ошибок, то с большой вероятностью они друг друга скомпенсируют и результат будет верным.

[mihailm]

gris в сообщении #353630 писал(а):

Вообще если делать очень много маленьких ошибок, то с большой вероятностью они друг друга скомпенсируют и результат будет верным.

Результат будет примерно верным с небольшой ошибкой :)

[ewert]

Ну т.е. если правильный резултат, допустим, $x^{7/3}+x^{-2/5}$, то будет получено что-то вроде $x^{2.3331}+x^{-0.40002}$...

[gris]

А что? Вот уважаемый автор вначале перепутал переменные, зато потом вынес одну шестую как шесть. В результате всё хоккей. Ну по крайней мере с шестёркой.
Хоть это и не строго, но вот как я дифференцирую такие штуки. Просто пишу перед каждой частью $d$:
$x=u^6$
$dx=du^6=6u^5du$
Операция переворачивания одновременно двух дробей не всегда равносильна, увы. Так что придётся делить в столбик.

[ewert]

gris в сообщении #353641 писал(а):

В результате всё хоккей.

Не хоккей, а футбол, причём американский, ибо числитель в результате исчез как класс.

[gris]

Числитель просто сократился, а перейдя в знаменатель, будучи равным 1, он просто был отринут. А вот дифференциал исчез, это да. Хотя потом автор вроде бы возвращается, но только на полшага.
Если серьёзно, то это просто досадные мелкие ошибки из-за обычной невнимательности. Но они имеют такой же эффект, как ошибки из-за непонимания.

(Оффтоп)

Интересно, насколько торжественным был бы вынос тела... Ну да ладно. Сам такой