Задача по теории вероятностей.

[dmitry_N]

Доброго времени суток всем!

Попалась задача, с которой никак не могу разобраться...((
Условие задачи такое:
"В начальный момент времени муха сидит в вершине А треугольника ABC, и каждую секнуду равновероятно переползает в одну из соседних вершин.
Нужно найти среднее время через которое она снова вернется в вершину A."

Так вот... мои соображения:
Понятно, что вероятность того, что муха вернется в вершину А за n секунд = 1/ (2 ^ n).
Соответственно необходимо посчитать мат. ожидание...
это будет:
$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ , где х = 1/2. Т.е. это бесконечная геометрическая прогрессия с q < 1. Суммой будет $1/(1-x)$

Но вот как действовать дальше и найти n не знаю.... направьте, пожалуйста, на путь истинный )

[ИСН]

Что (отложив на минуточку вопрос правильности написанного) Вы хотите делать дальше? Что найти-то надо, ещё раз, пожалуйста?

[dmitry_N]

ИСН в сообщении #353030 писал(а):

Что найти-то надо, ещё раз, пожалуйста?

Необходимо найти среднее число шагов (секунд), через которое муха вернется в вершину А тр-ка.

ИСН в сообщении #353030 писал(а):

Что (отложив на минуточку вопрос правильности написанного) Вы хотите делать дальше?

В этом-то я и жду помощи... т.к. не знаю как подобраться к этой задаче. ( А что касается написанного выше, то это просто поделился мыслями.. )

[ИСН]

"Ростова хотела что-то сказать, но откpывшаяся двеpь закpыла ей pот."
Я в непонятках. Вы нашли (отложим ещё на минуточку вопрос правильности) некое матожидание. Это матожидание чего, т.е. какой величины? Что такое матожидание вообще? Какое отношение имеет это матожидание к искомой величине?

[Архипов]

dmitry_N в сообщении #353019 писал(а):

Так вот... мои соображения:
Понятно, что вероятность того, что муха вернется в вершину А за n секунд = 1/ (2 ^ n).
Соответственно необходимо посчитать мат. ожидание...
это будет:
$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ , где х = 1/2. Т.е. это бесконечная геометрическая прогрессия с q < 1. Суммой будет $1/(1-x)$

Но вот как действовать дальше и найти n не знаю.... направьте, пожалуйста, на путь истинный )

Искать-то нужно не n, а M(x) (то есть сумму геом. прогр.), которая будет равно 2 при х=1/2. То есть осталось в формулу$M(x)=(1/(1-x)$ подставить х=1/2.

[Alexey1]

Присушлайтесь к совету ИСН. Вам необходимо найти математическое ожидание, что по определению является чем?

[Joker_vD]

Цитата:

математическое ожидание, что по определению является чем?

Интегралом по вероятностной мере.

[ИСН]

Архипов, Joker_vD, ну какого чёрта? Дайте топикстартеру самому пошевелить мозгами. Выслушать ответ от других - невелика польза. (Да он и слышал всё это не раз, наверняка.)

[dmitry_N]

Учитывая формулу для вероятности, что муха через n секунд вернутся в начальную вершину, получается, что мат. ожидание будет равно $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{2^n}$.

[Alexey1]

С какой вероятностью муха вернётся в точку А за 2 секунды?

[ИСН]

Почему суммируем начиная от двух?
(отложив ещё на минуточку вопрос о... короче, задолбало делать эту оговорку, дальше имейте её в виду.)

-- Чт, 2010-09-16, 21:20 --

да, или вопрос Alexey1. так тоже хорошо.

[dmitry_N]

За 2 секунды вернется в вероятностью = 1 / 4.

[Alexey1]

С вероятностью 1 муха уходит из точки А (1 секунда). С какой вероятностью она туда сразу вернётся (затратив на всё 2 секунды)?

[ИСН]

Каковы возможные картины ходов мухи за 2 секунды? В каких вариантах она вернётся? Подумайте об этом.
1) Вправо-вправо. Не вернулась.
...

[dmitry_N]

Мне уже становится стыдно... вроде уже и по полочкам все разложили, а я никак не пойму(((
Не смейтесь... просто я еще "Теорию вероятностей" толком и не изучал... только пару занятий в универе было.

И так..как я вижу ситуацию:
В первую секунду с вероятностью 1 муха уходит из вершины А и с вероятностью 1 / 2 переходит в вершину В или с такой же вероятностью переходит в вершину С.
Далее из вершины В равновероятно она переходит либо в А, либо в С. Как и из С либо в А, либо в В.
Значит, вероятности перехода в А на 2-й секунде из В и С равны: Р(В) = 1 / 2 и Р(С) = 1 / 2.
А так как из А она могла уйти и В, и в С...
То Р(вернуться в А на 2-й секунде) = Р(перейти из В в А) * Р(в В она попала из А) + Р(перейти из С в А) * Р(в С муха попала из А) = $1 / 2 * 1 / 2 + 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 2$.

А она 1 / 4 получается (которое я предположил выше), если не учитывать того, что в начальный момент она может уйти как в В, так и в С.

Надеюсь, правильно рассуждал..))