Интересное олимпиадное уравнение (немного теории чисел)

[Busy_Beaver]

Пусть $n$ — натуральное число, а $D(n)$ — произведение цифр числа $n$. Решить уравнение
$D(n)*n=111...1$ (всего 1994 единицы).
======================================================
Источник задачи: Всеукраинская олимпиада школьников. 1994, Херсон. 11 класс
======================================================
Моя попытка решения:

Если в числе $n$ есть нуль, то $D(n)=0$, а значит и $D(n)*n=0$.
Если в числе $n$ есть чётная цифра, то $D(n)$ - чётно, а значит и $D(n)*n$ - чётно.
Если в числе $n$ есть тройка или девятка, то $D(n)$ делится на 3, а значит и $D(n)*n$ делится на 3, но число, состоящее из ровно 1994 единиц (и только из них) не может делиться на 3, т.к. 1994 даёт остаток 2 при делении на 3.
Если в числе $n$ есть пятёрка, то $D(n)$ делится на 5, а значит и $D(n)*n$ делится на 5.
И, наконец, если в числе $n$ есть семёрка, то $D(n)$ делится на 7, а значит и $D(n)*n$ делится на 7. Но остатки, которые дают репьюниты при делении на 7, повторяются с периодом 6. 1994 даёт остаток 2 при делении на 6, а значит, 1994-й репьюнит даёт остаток 4 при делении на 7.

Подведём итог: Число $n$ может быть только репьюнитом, а значит, $D(n)=1$, но тогда $D(n)*n=n$.
Значит, уравнение имеет единственное решение, а именно $n=111...1$ (всего 1994 единицы).
===================================================================
Полагаю, можно доказать более общий факт: если произведение числа на произведение его десятичных цифр является репьюнитом и не делится на 7 и на 3, то и само число является репьюнитом.

-- Пт сен 10, 2010 16:05:27 --

Busy_Beaver в сообщении #351015 писал(а):

Пусть $n$ — натуральное число, а $D(n)$ — произведение цифр числа $n$. Решить уравнение
$D(n)*n=111...1$ (всего 1994 единицы).
======================================================
Источник задачи: Всеукраинская олимпиада школьников. 1994, Херсон. 11 класс
======================================================
Моя попытка решения:

Если в числе $n$ есть нуль, то $D(n)=0$, а значит и $D(n)*n=0$.
Если в числе $n$ есть чётная цифра, то $D(n)$ - чётно, а значит и $D(n)*n$ - чётно.
Если в числе $n$ есть тройка или девятка, то $D(n)$ делится на 3, а значит и $D(n)*n$ делится на 3, но число, состоящее из ровно 1994 единиц (и только из них) не может делиться на 3, т.к. 1994 даёт остаток 2 при делении на 3.
Если в числе $n$ есть пятёрка, то $D(n)$ делится на 5, а значит и $D(n)*n$ делится на 5.
И, наконец, если в числе $n$ есть семёрка, то $D(n)$ делится на 7, а значит и $D(n)*n$ делится на 7. Но остатки, которые дают репьюниты при делении на 7, повторяются с периодом 6. 1994 даёт остаток 2 при делении на 6, а значит, 1994-й репьюнит даёт остаток 4 при делении на 7.

Подведём итог: Число $n$ может быть только репьюнитом, а значит, $D(n)=1$, но тогда $D(n)*n=n$.
Значит, уравнение имеет единственное решение, а именно $n=111...1$ (всего 1994 единицы).
===================================================================
Полагаю, можно доказать более общий факт: если произведение числа на произведение его десятичных цифр является репьюнитом и не делится на 7 и на 3, то и само число является репьюнитом.

Кто найдёт ошибки в этом решении, сможет взять с полки пирожок

[Busy_Beaver]

Я не пойму, Вам задача не понравилась? Или решение?

[ИСН]

Решение-то адекватное. А задача скучная. И как по её мотивам сделать интересную, сразу не видно.
Вот если так:
Пусть $S(n)$ - сумма цифр $n$. Существует ли такое $n$, что $S(n)*n=111...1$ (всего 2010 единиц)?
- и то было бы веселее.

[gris]

ИСН, а я догадался! Ещё 5 лет и 4 месяца решения не будет
А где же пирожок???
А решение топикстартера очень хорошее.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #351242 писал(а):

ИСН,
А где же пирожок???

А вот и пирожок: http://www.google.com.ua/imgres?imgurl= ... CBkQ9QEwAA

Вы не обижайтесь, я в математике - тупой, но решил себя переломать и научиться решать олимпиадные задачи. Эта, вроде, первая, которую мне удалось решить адекватно. Пусть она лёгкая, но надо же с чего-то начинать...