Теорема Остроградского. Уравнения матфизики.

[antondm]

Здравствуйте!
Изучаю "Уравнения математической физики" А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, в нем на стр 33. есть не очевидное для меня преобразование.
Чтобы уважаемому сообществу не лезть в книгу описываю проблемный участок здесь.
Уравнение колебания мембраны.
Значит описывается состояние каждой точки функцией
$ u=u(x,y,t) \text{ -- высота данной точки в момент времени t}\\ ds \text{ -- элемент дуги некоторого контура, взятого на поверхности мембраны и проходящего через точку $M(x,y)$}\\ S_1 \text{ -- проекция на плоскость $(x,y)$ некоторого участка мембраны}\\ C_1 \text{ -- граница $S_1$}\\ \int\limits_{C_1} \frac{\partial{u}}{\partial{n}}ds = \iint\limits_{S_1} (u_{xx}+u_{yy}) dx dy $
Автор пишет, что применяет здесь теорему Остроградского, но я здесь ее не вижу. В некоторых источниках пишут что применяют теорему Грина, но здесь тоже путаница со знаками.

$ \int\limits_{C_1} \frac{\partial{u}}{\partial{n}}ds = \int\limits_{C_1} (\frac{\partial{u}}{\partial{x}}cos\alpha + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}cos\beta) ds = \int\limits_{C_1} \frac{\partial{u}}{\partial{x}} dx + \frac{\partial{u}}{\partial{y}} dy $
Дальше можно применить теорему Грина, но это не даст того что в книжке. Хотелось бы небольшого суппорта по сабжу.

[ewert]

antondm в сообщении #349026 писал(а):

Автор пишет, что применяет здесь теорему Остроградского, но я здесь ее не вижу.

Это действительно теорема Остроградского-Гаусса: $\int\limits_S\vec f\cdot\vec n\,dS=\int\limits_V\mathop{\mathrm{div}}\vec f\,dV$, где $\vec f=\mathop{\mathrm{grad}}u$ (тогда $\vec f\cdot\vec n=\dfrac{\partial u}{\partial\vec n}$) и $S$ -- граница области $V$. Она верна для любой размерности (и доказывается совершенно одинаково), а в двумерном случае после переобозначения $(f_x,f_y)\equiv(g_y,-g_x)$ превращается в формулу Грина.

[antondm]

В общем с ОГ теоремой все понятно на счет двумерного случая, однако все равно что-то с выкладками у меня не получается. Т.е. все теперь видно в векторной форме, но когда подробно расписывается,то что-то не так. Где я тут ошибся.
$ \text{В двумерном случае получается такая вот формула ОГ}\\ \int\limits_{\partial{G}}P(x,y)\,dy + Q(x,y)\,dx = \int\limits_{G} \frac{\partial P } {\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\,dxdy \\ \text{ те в моем случае получается так}\\ \int\limits_{C_1}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\,dy + \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\,dx = \int\limits_{S_1} \frac{\partial^2{u}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}\partial{y}}\,dxdy $
В общем, что-то здесь не так. Не могли бы вы ткнуть меня носом где я не так пишу.

[ewert]

antondm в сообщении #349097 писал(а):

Где я тут ошибся.
$ \text{В двумерном случае получается такая вот формула ОГ}\\ \int\limits_{\partial{G}}P(x,y)\,dy + Q(x,y)\,dx = \int\limits_{G} \frac{\partial P } {\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\,dxdy $

Вот именно тут и ошиблись. На самом деле формула О.-Г. выглядит так:

$$\iint\limits_{G}\left( \frac{\partial P } {\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dxdy= \int\limits_{\partial{G}}(P,Q)\cdot\vec n\,ds, $$

где $\vec n$ -- единичный вектор нормали и $ds$ -- элемент длины кривой (скалярный). Этот криволинейный интеграл -- нестандартнен. Чтобы свести его к стандартному криволинейному интегралу второго рода, надо повернуть оба вектора под скалярным произведением в правой части на 90 градусов против часовой стрелки -- так, чтобы единичная нормаль $\vec n$ превратилась в единичный касательный вектор $\vec t$; тогда вектор $(P,Q)$ превратится в $(-Q,P)$ и получится интеграл

$$\int\limits_{\partial{G}}(-Q,P)\cdot\vec t\,ds=\int\limits_{\partial{G}}(-Q,P)\cdot(dx,dy)=\int\limits_{\partial{G}}(-Q\,dx+P\,dy)=\iint\limits_{G}\left( \frac{\partial P } {\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dxdy. $$

Последнее равенство -- это как раз формула Грина и есть, с точностью до замены $Q$ на $-Q$.