Ряд

[Александр Т.]

Vvp_57 в сообщении #348285 писал(а):

Тройки это в том смысле что $m=3$.

А другие они в том смысле, что $n$ не обязательно равно трем. Теперь понятно.

(Оффтоп)

Цитата:

Извиняюсь, может что не так говорю.

Извиняюсь, что спровоцировал Вас на извинения.

Цитата:

Вообщем должны работать ряды:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+1)(5k+2)(5k+3)}=\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} +\frac{1}{6\cdot 7 \cdot 8 } +\dots$$

Здесь Ваш интеграл совершенно верен:

$$\dfrac{1}{2!} \int\limits_0^1 \dfrac{(1-x)^{2}}{1-x^n}dx$$

А какие интегралы для рядов:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+2)(5k+3)(5k+4)}=\frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} +\frac{1}{7\cdot 8 \cdot 9 } +\dots$$

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+3)(5k+4)(5k+5)}=\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} +\frac{1}{6\cdot 7 \cdot 8 } +\dots$$

Интегралы для этих рядов получаются из общей формулы, которую я уже выписывал в сообщении #348280
Hack attempt!
А именно,
Hack attempt!

Цитата:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+1)(5k+3)(5k+5)}=\frac{1}{1\cdot 3 \cdot 5} +\frac{1}{6\cdot 8 \cdot 10 } +\dots$$

Ну, а формулу для этого ряда я уже выписывал (там же, в сообщении #348280)
Hack attempt!

Цитата:

А интеграл найденный на вскидку:

$$\dfrac{1}{2^3 2!} \int\limits_0^1 \dfrac{(1-x)^2}{\left(1-x^5\right)\sqrt{x}} dx$$

честно сказать мне что то не по душе, из-за корня в знаменателе. Какой то
прям диссонанс получается....

Ну, если Вы считаете, что интеграл сложнее ряда получился, то замечу, что от корня можно подстановкой $x=t^2$ избавиться (любая система компьютерной алгебры, по-моему, должна этот интеграл взять). А если этот корень вызвал у Вас сомнения в правильности формулы, то скажу, что именно из-за этого корня множители в знаменателях увеличиваются не на единицу (т.е., например, $(5k+3)(5k+4)(5k+5)$), а на двойку (т.е., $(5k+1)(5k+3)(5k+5)$). Если же Вы проверили каким-либо образом эту формулу и обнаружили, что она является неверной, то напишите пожалуйста, как Вы проводили проверку. Как я уже говорил, я получил эту формулу навскидку (а именно, пройдя взглядом по своему "показу" в сообщении #348035 и сделав несколько записей на бумаге) и, разумеется, мог ошибиться.

[Vvp_57]

Незнаю, убедят ли Вас такие примеры из маткада:

$$\sum\limit_{k=0}^{1000} \frac1{(5k+1)(5k+3)(5k+5)}=0,0696254243514....$$

и

$$\frac{1}{2^32!}\int\limits_0^1 \dfrac{(1-x)^2}{\left( 1-x^5\right)\sqrt{x}}dx=0,067277706517722....$$

[Александр Т.]

Александр Т. в сообщении #348280 писал(а):

У меня навскидку получилось
Hack attempt!

Все-таки ошибся в одном месте.

Максимальное обобщение выписанной EtCetera в сообщении #346682 формулы, которое мне удалось получить, имеет вид (здесь $i$ — не мнимая единица, а любое натуральное число $i=1,2,\dots$)
Hack attempt!

(Здесь я привожу вывод этой формулы)

Hack attempt!

Vvp_57 в сообщении #348209 писал(а):

Только как будет выглядеть интеграл, если будет:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+1)(5k+3)(5k+5)}=\frac{1}{1\cdot 3 \cdot 5} +\frac{1}{6\cdot 8 \cdot 10 } +\dots$$

Для этого ряда нужно выбрать верхний знак, $n=5$, $m=3$, $l=1$, $i=2$, т.е.
Hack attempt!
Проверка при помощи Maple дает
Hack attempt!

[Vvp_57]

Александр Т. в сообщении #348573 писал(а):

Максимальное обобщение выписанной EtCetera в сообщении #346682 формулы, которое мне удалось получить, имеет вид (здесь $i$ — не мнимая единица, а любое натуральное число $i=1,2,\dots$)
Hack attempt!

Великолепно! Не, просто классная формула! Большое Вам спасибо Александр T.
Проверил при $n=13$ $m=4$ $l=1$ $ i=4$ и при $ n=13$ $ m=3$ $l=7$ $i=2$ $\left( k=2\right)$ работает!
В чем и не сомневался, просто без проверки нельзя.

[Vvp_57]

Dext в сообщении #346476 писал(а):

WolframAlpha показал довольно громоздкий результат
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(1/((5*n%2B1)*(5*n%2B2)*(5*n%2B3)*(5*n%2B4)*(5*n%2B5)),+n+%3D+0+..+infinity).

WolframAlpha рулит! Однако "мой" маткад выдал еще более сложный вариант. А нельзя ли упростить полученное выражение?
Например логарифмическую часть:
$\frac{-1}{960\sqrt{5}}\left(8\sqrt{5}\ln5-50\ln\frac{5-\sqrt{5}}{8}+2\sqrt{5}\ln\frac{5-\sqrt{5}}{8}+50\ln\frac{5+\sqrt{5}}{8}+2\sqrt{5}\ln\frac{5+\sqrt{5}}{8}\right)$
Получается:
$2\sqrt{5}\ln\frac{5-\sqrt{5}}{8}+2\sqrt{5}\ln\frac{5+\sqrt{5}}{8}=2\sqrt{5}\ln\frac{25-5}{64}=2\sqrt{5}\cdot \ln\frac{5}{16}$
и
$8\sqrt{5}\ln10+2\sqrt{5}\ln\frac{5}{16}=2\sqrt{5}\ln\frac{5\cdot 10^4}{16}=10\sqrt{5}\cdot\ln5$
Так же и
$50\ln\frac{5+\sqrt{5}}{8}+50\ln\frac{5-\sqrt{5}}{8}=50\ln \frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}= 50\cdot \ln\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Окончательно:
$\frac{-1}{96}\left(\sqrt{5}\cdot\ln\frac{3+\sqrt{5}}{2}+ \ln5 \right)$
А можно ли упростить часть с числом $\pi $?

$$\frac{-\pi }{960\sqrt{5}}\left( 10\sqrt{2\left(5-\sqrt{5}\right)}- 10\sqrt{10\left(5-\sqrt{5}\right)}+ 5\sqrt{2\left(5+\sqrt{5}\right)}+ 5\sqrt{10\left(5+\sqrt{5}\right)\right)$$

[venco]

Vvp_57 в сообщении #348849 писал(а):

А можно ли упростить часть с числом $\pi $?

$\dfrac{\pi \sqrt{5-2\sqrt 5}}{48}$

[Vvp_57]

venco в сообщении #348875 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #348849 писал(а):

А можно ли упростить часть с числом $\pi $?

$\dfrac{\pi \sqrt{5-2\sqrt 5}}{48}$

Спасибо venco! Окончательно будет:
$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac1{(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)(5k+5)}=\frac{1}{96}\left( \sqrt{5}\ln \frac{3-\sqrt{5}}{2}-\ln5+2\pi\sqrt{5-2\sqrt{5}} \right)$