Иррациональность

[ShMaxG]

В смысле? Может ли быть иррациональным число?:$ \[\frac{1} {{1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt[n]{{{p_n}}}} }}\]$

[Nikop]

Очень на это надеюсь. Не думайте, что смеюсь и все такое, просто уже ни в чем не уверен.

[ShMaxG]

Если постановка задачи такая, то задача довольно простая. Ведь иррациональность этого выражения равносильна иррациональности ряда. Но пусть $\[{p_n} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }} {{{2^n}}}} \right)^n}\] $ Сумма такой штуки (геом. прогрессия) даст $\sqrt{2}$ - иррационально.

[Nikop]

Огромное спасибо, пойду думать дальше.

-- Пн авг 30, 2010 23:08:33 --

ShMaxG в сообщении #348402 писал(а):

Если постановка задачи такая, то задача довольно простая. Ведь иррациональность этого выражения равносильна иррациональности ряда. Но пусть $\[{p_n} = \frac{1} {{{n^{2n}}}}\] $ (то, что первый член равен 1 принципиально не важно). Сумма такой штуки, как известно, $\[\frac{{{\pi ^2}}} {6}\]$ -- иррациональное число.

-- Пн авг 30, 2010 16:06:13 --

Если смущает число пи, то можно выбрать $\[{p_n} = \frac{1} {{{n^{2n}}}}{\left( {\frac{{6\sqrt 2 }} {{{\pi ^2}}}} \right)^n}\] $. Тогда сумма будет равна $\sqrt{2}$.

Вот же блин, как ни пытался к корню из 2 привязать, так и не смог, а оно вон как. Еще раз спасибо.

[ShMaxG]

Я исправил предыдущий пост. Там решение много проще.