Иррациональность

[Nikop]

Заранее прошу прощение за повторение, но все же, подскажите, если не трудно.

$p + q = x$;

$ \frac p {q}= \frac 1 {x}$

Можно ли утверждать, что $x$ - иррационально?

[ShMaxG]

А кто такие $p$ и $q$? И попытки не забудьте...

[Nikop]

$p, q > 0$

Возможно ли при рациональных $p, q$ - рациональное $x$?

[ShMaxG]

Ну а Вы-то как думаете?

[Nikop]

Думаю нет.

[ShMaxG]

Зря. Выразите $x$ через $p$ и будет Вам счастье.

[Nikop]

$p = 1$
$q = x$
$x + 1 = x$

$p = 5x$
$5x + q = x$

$p > q$

Как?

[ShMaxG]

Nikop в сообщении #348367 писал(а):

:-(
$p = 1$
$q = x$
$x + 1 = x$

$p = 5x$
$5x + q = x$

$p > q$

Как?

Это что еще такое? Вот у Вас дана исходная система. Выразите в первом уравнении $q$ через $x$ и $p$ и подставьте во второе. Получившееся уравнение будет содержать икс и $p$. Теперь выразите икс через пэ.

[BapuK]

$\frac{p}{q}=\frac{1}{x} \Rightarrow p = \frac{q}{x} \Rightarrow \frac{q}{x} + q = x \Rightarrow \dots$ дальше сами

[ShMaxG]

BapuK
Не надо так. Это только усугубит. Я предложил вариант много проще.

[Nikop]

Спасибо за помощь.

[ShMaxG]

Ну да, там простое совсем выражение. Причем заметьте, от ку не зависящее. Но оно и понятно. 3 неизвестных, 2 уравнения. И примеры, которые Вы хотите, придумываются на ура.

[BapuK]

ShMaxG в сообщении #348370 писал(а):

BapuK
Не надо так. Это только усугубит. Я предложил вариант много проще.

угу, что-то я сглупил, надо было сначала $q$ выразить, действительно проще)

[gris]

Если из второго уравнения выразить $q$ и подставить в первое, то можно рационально выразить $x$ через $p$. Получается, что вне зависимости от рациональности $q$ числа $x$ и $p$ одновременно либо рациональны, либо иррациональны. В первом случае $q$ тоже будет рационально, а вот если числа $x$ и $p$ одновременно иррациональны, то $q$ может быть и таким, и этаким.
Может быть в этом был вопрос?

[Nikop]

Всецело надеясь на ваше терпение, спрошу, это то хоть можно принять за иррациональное:

$ \frac {1}{1 + m_1 + m_2 + ..... + m_n}$

где
$m_1 = \sqrt[3]{p_1}$
$m_2 = \sqrt[4]{p_2}$
$m_n = \sqrt[5]{p_n}$

$0 <p_1, p_2, p_n < 1$, а степень $n$ стремится к бесконечности.