Задача

[maxmatem]

Решал задачу на делимость и пришёл к интересному результату.
доказать ,что $\[ T(n)=n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \] $ делится на $24$ для любого натурального n.
Я разложил на множители и получил $\[ T(n)=n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) \]$
осталось показать , что правая часть делится на 24. Итак,заметим что $24=4!$. Очевидно, что при $n=1$ ,
$T(n)$ делится на $4!$. Ну ,а для остальных $n=2,3,......$, я установил ,что верна формула:
$\[ T(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = \frac{{4!}} {{(n - 1)!}}\prod\limits_{p = 5}^{n - 1} p \] $
из чего видно что при любом n начиная с двойки (для $n=1$, было проверено) делится на 24.
(а может кто-нибудь эту формулу уже видел??.....
на оригинальность не притендую)

[ShMaxG]

А Вы заметьте, что $24 = 3 \cdot 8$. Очень легко показать, без лишних мыслей, что правая часть делится и на 3, и на 8.

-- Пт авг 13, 2010 19:14:02 --

Под правой части я подразумеваю $n(n+1)(n+2)(n+3)$.

[maxmatem]

ShMaxG. я и не говорил , что мой метод наиболее простой, просто формула понравилась!

[ShMaxG]

А, Вы просто хотели показать, что придумали некоторую формулу. Решение было не нужно Ну ладно...

-- Пт авг 13, 2010 19:18:32 --

А чем Ваша формула хороша? То же произведение, только завуалированное (и вроде не правильное). Это не упрощение.

[Maslov]

maxmatem в сообщении #344182 писал(а):

Ну ,а для остальных $n=2,3,......$, я установил ,что верна формула:
$\[ T(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = \frac{{4!}} {{(n - 1)!}}\prod\limits_{p = 5}^{n - 1} p \] $

У меня есть подозрение, что
$\frac{{4!}}{{(n - 1)!}}\prod\limits_{p = 5}^{n - 1} p = 1$
Я не прав?

[maxmatem]

а с чего вы взяли?

ShMaxG
просто если честно, то когда решал задачу то отталкивался от факта что $24=4!$ вот и подгонял и получил чего хотел!

[Maslov]

Maslov в сообщении #344191 писал(а):

а с чего вы взяли?

$\prod\limits_{p = 5}^{n - 1} p = \dfrac {\prod\limits_{p=1}^{n-1} p} {\prod\limits_{p=1}^4 p} = \frac{(n-1)!} {4!}$

[maxmatem]

как-то странно потому,что когда значения подставляешь то всё нормально. Maslov-может вы ошиблись?

[Maslov]

Может, конечно, но для $n=6$ у меня получается:
$\frac{{4!}}{{5!}}\prod\limits_{p = 5}^5 p = \dfrac 1 5 5 = 1$

[maxmatem]

согласен! извиняюсь!

[Dandan]

Это известный факт и следует он из того, что количество сочетаний из n по k, равное $\frac{n!}{k!(n-k)!}$, - целое число.

[maxmatem]

Я уже заводил тему, но с ошибочной формулой , а теперь поправил.
Получил вот такую формулу:
$\[ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = \frac{{4!}} {{(n - 1)!}}\prod\limits_{p = 5}^{n + 3} p \] $
формула верна для $(n=2,3...)$
Проверьте, формула верная?

Темы объединены.

[mihailm]

Слов нет,
но формула верная

Надеюсь p это обычная зависимая переменная не имеющая отношения к простым числам

[maxmatem]

ваши надежды оправданы! Но почему слов нет?

[AKM]

maxmatem в сообщении #345571 писал(а):

Но почему слов нет?

У меня аналогичная ситуация. Слова, адекватные Формуле, никак не придумываются.