Найти степень дифференциального оператора

[Leox]

Рассмотрим дифференциальный оператор $D= \sqrt{t}\dfrac{d} {d t}.$
Последовательно вычисляя имеем
\begin{gather*} D^2=\frac{1}{2}\,{\frac {d}{dt}} +t{\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}},\\ D^3=\frac{1}{2}\,\sqrt {t} \left( 3\,{\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}} + 2\,t{\frac {d^{3}}{d{t}^{3}}}\right),\\ D^4=\frac{3}{4}\,{\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}} +3\,t{\frac {d^{3}}{d {t}^{3}}} +{t}^{2}{\frac {d^{4}}{d{t}^{4}}} \right),\\ D^5=\frac{1}{4}\,\sqrt {t} \left( 15\,{\frac {d^{3}}{d{t}^{3}}} +20\,t{\frac {d^{4}}{d{t}^{4}}} +4\,{t}^{2}{\frac {d ^{5}}{d{t}^{5}}} \right),\\ D^6={\frac {15}{8}}\,{\frac {d^{3}}{d{t}^{3}}} +{\frac { 45}{4}}\,t{\frac {d^{4}}{d{t}^{4}}} +\frac{15}{2}\,{t}^{2}{ \frac {d^{5}}{d{t}^{5}}} +{t}^{3}{\frac {d^{6}}{d{t} ^{6}}}. \end{gather*}
Нужно найти общую формулу для $D^n.$

[MaximVD]

Удобно разделить общую формулу для $D^n$ на случаи чётного и нечётного $n$. Поэтому лучше смотрите отдельно на нечётные степени оператора $D$ и отдельно на чётные.
Ещё, немного преобразуйте выписанные вами формулы для степеней 3 и 5 (неплохо было бы ещё 7-ую степень выписать), выносите за скобку только $\sqrt{t}$, числовой множитель выносить не нужно.
Знаменатели во всех дробях представьте в виде степеней двойки. Числитель самого первого множителя можно представить в виде произведения нечётных чисел, не превосходящих степень оператора.

[Leox]

Пока ничего не получается. Нашел степень другого оператора:$\dfrac{1}{t} \dfrac{d}{dt}:$

$$ \left( \dfrac{1}{t} \dfrac{d}{dt} \right)^n= \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n a_{n,k} t^{k-1} \dfrac{d^k}{dt^k}}{t^{2n-1}}, a_{n,k}=(-1)^{n-k} \dfrac{(2n-k-1)!}{2^{n-k} (k-1)! (n-k)!}, $$

а вот для оператора $\sqrt{t} \dfrac{d}{dt}$ пока ничего аналогичного не получается.

Седьмая степень $\sqrt{t} \dfrac{d}{dt}$ такая

$$ \frac{1}{8}\,\sqrt {t} \left( 105\,{\frac {d^{4}}{d{t}^{4}}}+210\,t{\frac {d^{5}}{d{t}^{5}}} +84\,{t}^{ 2}{\frac {d^{6}}{d{t}^{6}}}+8\,{t}^{3}{\frac {d^{7} }{d{t}^{7}}} \right), $$

восьмая

$$ {\frac {105}{16}}\,{\frac {d^{4}}{d{t}^{4}}}+{ \frac {105}{2}}\,t{\frac {d^{5}}{d{t}^{5}}} +{\frac {105}{2}}\,{t}^{2}{\frac {d^{6}}{d{t}^{6}}} +14\,{t} ^{3}{\frac {d^{7}}{d{t}^{7}}} +{t}^{4}{\frac {d^{8}} {d{t}^{8}}}. $$

[ShMaxG]

Leox в сообщении #342935 писал(а):

Нашел степень другого оператора:$\dfrac{1}{t} \dfrac{d}{dt}:$

А как, кстати?

[Leox]

ShMaxG в сообщении #342938 писал(а):

Leox в сообщении #342935 писал(а):

Нашел степень другого оператора:$\dfrac{1}{t} \dfrac{d}{dt}:$

А как, кстати?

Maple+The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences+индукция

[Leox]

ShMaxG в сообщении #342938 писал(а):

А как, кстати?

Хороший вопрос :) Наконец получилось

$$ \left( \sqrt{t} \dfrac{d}{dt} \right)^n=\sum\limits_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} a_{n,k} t^{\frac{n}{2}-k} \dfrac{d^{n-k}}{dt^{n-k}}, a_{n,k}=\dfrac{n!}{k! (n-2k)! 2^{2k}}. $$