Замкнутость конечномерного подпространства в хаусдорфовом ВП

[id]

Вопрос - можно ли достаточно просто доказать то, что всякое конечномерное подпространство хаусдорфова ТВП над полным нормированным полем (к примеру, $\mathbb R$ или $\mathbb C$) замкнуто, не прибегая к языку фильтров Коши и равномерных структур?

(с ним-то достаточно легко, но само определение фильтра Коши требует многих слов)

[terminator-II]

вроде бы, есть теорема, которая говорит, что все хаусдорфовы топлогии в конечномерном пространстве над $\mathbb{R}$, если они уважают сложение и умножение на число, эквивалентны стандартной.

-- Sat Jul 31, 2010 22:58:38 --

id в сообщении #341853 писал(а):

и равномерных структур?

а разве замкнутость множества связана с равномерной структурой? Вы полноту имеете ввиду или замкнутость?

[id]

Цитата:

вроде бы, есть теорема, которая говорит, что все хаусдорфовы топлогии в конечномерном пространстве над $\mathbb{R}$, если они уважают сложение и умножение на число, эквивалентны стандартной.

Есть, и я о ней собственно и думал. Но самой этой теоремы по-моему недостаточно чтобы доказать то, что конечномерное подпространство $E$ хаусдорфова ВП замкнуто.

Нужно предположить противное, что это не так. Тогда для любого фильтра окрестностей, сходящегося к некой предельной точке $x_0 \notin E$ (который будет фильтром Коши) его ограничение на $E$ тоже будет фильтром Коши, и уже здесь можно воспользоваться полнотой конечномерного ТВП.

[Padawan]

Так полное подпространство $E$ хаусдорфова ТВП $L$ всегда замкнуто в объемлющем пространстве.

Если направленность $(x_s)_{s\in D}\subset E$ сходится к точке $x_0\in L$, то она является направленностью Коши в $L$, и тогда и в $E$. Так как $E$ полно, то $x_s$ сходится в $E$, а так как предел единственен, то $x_0\in E$. То есть $E$ содержит все свои предельные точки.

В общем, я написал то же самое, что и id, только вместо фильтров направленности.

[id]

Примерно понятно (я с направленностями Коши не особенно знаком вот разве что, про соотв. язык фильтров читал у Бурбаки). Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Одномерное подпространство замкнуто. Сумма замкнутых замкнута. Индукция по размерности...

[terminator-II]

Padawan в сообщении #341994 писал(а):

Так полное подпространство $E$ хаусдорфова ТВП $L$ всегда замкнуто в объемлющем пространстве.

Если направленность $(x_s)_{s\in D}\subset E$ сходится к точке $x_0\in L$, то она является направленностью Коши в $L$, и тогда и в $E$. Так как $E$ полно, то $x_s$ сходится в $E$, а так как предел единственен, то $x_0\in E$. То есть $E$ содержит все свои предельные точки.

Итого: всякое полное подмножество (необязательно подпространство) хаусдорфового ТВП замкнуто
и никуда тут от направленностей/фильтров не денешься

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #342350 писал(а):

Одномерное подпространство замкнуто. Сумма замкнутых замкнута. Индукция по размерности...

"Сумма замкнутых замкнута" совсем не очевидно (и скорее всего неверно).

[terminator-II]

Padawan в сообщении #342386 писал(а):

Сумма замкнутых замкнута" совсем не очевидно (и скорее всего неверно).

Конечно неверно, тут уже обсуждалось: что сумма двух (замкнутых)подпространств гильбертова пространства является гильбертовым пространством iff угол между подпространствами не равен нулю