О природе вероятностных распределений

[Dan_Te]

Часто если рассматривают симметричную случайную величину, равную отклонению чего-нибудь от среднего значения или погрешности какого-нибудь измерения, то обычно принимают, что она нормально распределена. Объясняют это тем, что отклонение или погрешность обычно складывается из множества более мелких независимых отклонений, и можно воспользоваться ЦПТ. То есть, мы имеем математическую модель, которая работает в ряде ситуаций, и некое объяснение того, почему она работает.
Также я сталкивался со следующими утверждениями:
- время работы лампочки накаливания распределено экспоненциально, поскольку экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия памяти; лампочка, по крайней мере новая, тоже обладает этим свойством, так как перегорит скорее не от истончения вольфрамовой нити, а от случайных колебаний напряжения. То есть, если лампочка проработала небольшое время, то мы можем считать ее новой (отсутствие памяти).
- в простейшей системе массового обслуживания количество поступивших заявок распределено по Пуассону, объясняется теоремой Пуассона.

В данный момент меня интересует лог-нормальное распределение, поскольку я уже несколько раз сталкивался с тем, что следующие величины распределены лог-нормально:
- количество магазинов в большом городе/стране
- продажи какого-нибудь продукта в магазине за какой-нибудь период времени
Возникает вопрос, а почему?
Где про это почитать? Я как-то видел в книжке по эконометрике какое-то "уравнение потребления", связывающее между собой логарифмы продаж продукта и еще чего-то, но не обратил тогда внимания.

Также интересно, какие еще распределения встречаются в жизни и почему.

[PAV]

Вот некоторые наводящие соображения по теме.

Во-первых, есть аналог ЦПТ для произведений случайных величин, которые при широких условиях сходятся к лог-нормальному распределению (в общем-то понятно, почему).

Во-вторых, в справочниках написано, что лог-нормальное распределение возникает в моделях дробления частиц. Не могу сказать, каким образом. Но можно пофантазировать на тему, что возникновение новых магазинов часто можно представить именно как дробление. Население растет, имеющийся магазин уже не справляется с потребностями, возникает необходимость в появлении нового - и он появляется.

Похоже на правду?

[Yurii]

По-моему все не так просто и с нормальным распределением и с Центральной Предельной Теоремой с точки зрения применимости всего этого к реальным явлениям. См., например
Ссылка.

Юрий


---
Длинные линки прячем под тэг URL. Отредактировал. (dm)

[незваный гость]

Меня в какой-то момент интересовало решение такой задачи: Вероятность выигрыша в некой игре равна $p$, проигрыша $q = 1-p$. Исходы игр независимы. Рассматривается серия игр длиной $n$. Каково распределение максимального количества выигрышей подряд?

У меня получились такие результаты ($m$ - максимальное количество выигрышей):

1. $p(n,m) = {\rm e}^{-n q p^{m+1}} - {\rm e}^{n q p^m}$;
2. $p(n,m)$ максимальна при $m_{max} = - \log_p(-\frac{q^2 n}{\ln p})$, $p(n, m_{max}) = q p^{p/q}$;
3. $m_{avg} \simeq -\log_p \left({\rn e}^\gamma q n \sqrt{p}\right)$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера (~ 0.577216), $p(n,m_{avg}) \simeq {\rm e}^{-{\rm e}^{-\gamma} \sqrt{p}} - {\rm e}^{-{\rm e}^{-\gamma} / \sqrt{p}}$;
4. Из приведенных формул видно, что и $m_{max}$ и $m_{avg}$ растут как $-\log_p n$, что разность $m_{max} - $m_{avg} \to \log_p\left(-\frac{{\rm e}^\gamma \sqrt{p} \ln p}{q}\right)$, и что плотность вероятности для $m_{max}$ и $m_{avg}$ не зависит от $n$;
5. Моменты более высоких порядков $M_2 \simeq \frac{2 \pi^2 + \ln^2 p}{12 \ln^2 p}$, $M_3 \simeq -\frac{2 \zeta(3)}{\ln^3 p}$, $M_4 \simeq -\frac{36 \pi^4 + 20 \pi^2 \ln^2 p + 3 \ln^4 p}{240 \ln^4 p}$.

Мне было давно интересно, всречается ли где-нибудь это распределение? Является ли оно исследованным? Правильны ли мои выкладки? (Эксперимент методом Монте-Карло вроде бы подтверждает картину.) Связано ли оно как-то с известными распределениями?

Был еще вопрос - а на хрен оно кому-то нужно? Ну, тут уж ответ понятен - "Вы, тетенька, удовлетворите мое детское любопытство."

[LynxGAV]

PAV писал(а):

Во-вторых, в справочниках написано, что лог-нормальное распределение возникает в моделях дробления частиц.

Какое-какое дробление? Самопроизвольный распад?

У меня пока вопрос к математикам.
Пришлось как-то сдавать экзамен в аспирантурee, среди задач было две, которые аспирантами были определены как "бахнутые" - потому что "физически нестандартные". Перевожу одну с английского, как мне запомнилась.

Известно, что срок жизни печки 2 года, а потом ее выбрасывают. В Миннеаполисе живет 1 миллион человек. Вопрос: как быстро можно найти печку?

Эта задача, по-моему, предполагала проверку того, как студент может сформулировать корректно задачу и придумать теорию. Предполагалось привлечение каких угодно дополнительных данных, если в таковых имелась необходимость, - из головы. Среди подручных средств - листы формата А-4 и ручка и пол часа времени на задачу.

В попыхах и агонии вспомнила диффузию Эйнштейна (везде наследил ) и выдумала свою теорию т. н. "печечной диффузии" и поскольку ко мне претензий не возникло, то логично думать, что такой вариант прокатил. Отработанную печку выбрасывают рядом с домом (после чего, впринципе, ее могут и перетащить в другое место). Идешь по улице, дошел до перекрестка - все направления равноправны. Линейный размер блужданий порядка длины квартала. Печки распределены равномерно.

Была еще задача о муравьях бегающих по небоскребу .

[PAV]

LynxGAV писал(а):

PAV писал(а):

Во-вторых, в справочниках написано, что лог-нормальное распределение возникает в моделях дробления частиц.

Какое-какое дробление? Самопроизвольный распад?

Не знаю. Фраза переписана дословно из справочника по теории вероятностей.

[Capella]

Лограспределение используется для распределение сбережений и имеет второе название распределение сбережений (перевод дословный ). Полагаем $ Y = log X $
$ P(X \leqslant t) = P(Y \leqslant log t) = \frac 1 { \sigma \sqrt{2 \pi}} $$\int\limits_{-\infty}^t e^{-\frac {(u - m) ^2} {2\sigma^2}$$ du $
А плотность задана вот так:
$ f(t) = \frac {d} {dt} P(X \leqslant t) = $$\frac 1 { \sigma t \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac {(log t - m) ^2} {2\sigma^2}$$; (t > 0) $
Только график этой функции (плотности) будет совсем не симметричен, при $ t \to \infty $ он будет спадать более плавно, что конечно-же понятно, т.к. функция определена только на всём положительном отрезке $ t $ и имеет максимум. Это означает, что медиана не совпадает с максимумом.
Математическое ожидание довольно просто: $ E(X) = E(e^Y) = e^{m + \frac {\sigma^2} {2} $ и не совсем совпадает или совсем не совпадает с мат ожиданием нормального распределения, которое, как известно, просто $ \mu $

[Аурелиано Буэндиа]

Сложный вопрос. И вообще распределение вероятности является наблюдаемой величиной? Наблюдаются математические ожидания. В большинстве случаев несколько первых моментов имеют конкретный физический смысл (или ещё какой-нибудь) и их можно измерить на опыте. Мне кажется, что естественный путь к решению таких вопросов:
1) Изучение процессов
2) Создание модели, которая оперирует мат. ожиданиями
3) Проверка исходных предположений и модели (Есть такое понятие как корреляция).

[Dan_Te]

Распределение вероятности очень даже является наблюдаемой величиной. Берем миллион заклепок и строим эмпирическую функцию распределения отклонения диаметра заклепки от стандарта, вот и распределение.

Capella: а можно поподробнее про распределение сбережений? Где можно встретить объяснение того, почему оно так называется? Надо будет Экономикс глянуть.

[Аурелиано Буэндиа]

Dan_Te писал(а):

Распределение вероятности очень даже является наблюдаемой величиной. Берем миллион заклепок и строим эмпирическую функцию распределения отклонения диаметра заклепки от стандарта, вот и распределение

Соглашусь лишь в том, что когда вы строите эмпирическую функцию вы, по сути, выдвигаете гипотезу о виде функции распределения. Эту гипотезу можно проверить и установить насколько она верна. Так например поступают при создании моделей прогнозирования в финансовой сфере (коллокационных и т.д.)
Определенно, есть случаи когда функцию распределения можно измерить. Но не всегда! Есть ситуации, когда это невозможно сделать в принципе. Вот о чём я =)

[Sanyok]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Определенно, есть случаи когда функцию распределения можно измерить. Но не всегда! Есть ситуации, когда это невозможно сделать в принципе. Вот о чём я =)

Вы не могли бы сказать, что это за ситуации?

[Аурелиано Буэндиа]

Sanyok писал(а):

Вы не могли бы сказать, что это за ситуации?

Могу. Например, ситуации связанные с человеческим фактором. Биржа. Прогнозирование биржи является неблагодарным делом. Пример из физики. Волновая функция не поддается измерению. Есть случаи, когда измерение практически невозможно и не будет возможно ещё очень и очень долго. Это может быть связано с очень многими факторами, которые перечислить я не решусь.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Пример из физики. Волновая функция не поддается измерению.

Позволительно ли мне заметить, что мы не можем измерить ускорение? Чего уж там волновые функции вспоминать. Я к тому, что физическая измеримость суть понятие ограниченное физикой, а Ваше утверждение не было сужено до физики, даже просто оговоркой "иногда".

Что до биржи, я бы рад был бы знать хотя бы мат.ожидания -- и был бы богатым . Хитрый пример биржа, весьма хитрый. Хотя бы потому, что надо предсказать не поведение случайной величины, а предсказать предсказание поведения этой величины инвесторами - что весьма отлично от первого.

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Sanyok писал(а):

Вы не могли бы сказать, что это за ситуации?

Могу. Например, ситуации связанные с человеческим фактором. Биржа. Прогнозирование биржи является неблагодарным делом.

А там на бирже вообще есть какие-нибудь вероятности?
Как-то в телепередаче выступали психологи, которые пыталсь проверить, действительно ли пресловутый "25-ый кадр" так уж влияет на человека. После серии опытов они пришли к выводу, что эффект не обладает статистической устойчивостью, то есть, никаких вероятностей и функций распределения здесь нет. В связи с чем они заявили, что не в состоянии определить, действительно ли "эффект 25-ого кадра" существует.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

Как-то в телепередаче выступали психологи, которые пыталсь проверить, действительно ли пресловутый "25-ый кадр" так уж влияет на человека. После серии опытов они пришли к выводу, что эффект не обладает статистической устойчивостью, то есть, никаких вероятностей и функций распределения здесь нет. В связи с чем они заявили, что не в состоянии определить, действительно ли "эффект 25-ого кадра" существует.

Ну уж если к этому пришли психологи, то уж наверняка нет =))