Рекуррентные формулы

[Neytrall]

Задача:
$2X_{t+2}+(2-2aX_{t+1})+(\frac{a^2}{2}-a)X_t=a^2-6a+8$
1. Дано что $a\neq2,4$. Просят найти $X_t$ при известных $X_0,X_1$.
2.При каких $a$ $X_t$ будет сходиться для любых $X_0,X_1$?
3.Если $a=3$ какая связь должна быть между $X_0,X_1$, что бы $X_t$ сходился?

Я нашёл два корня $\lambda_1=\frac{a+\sqrt{2a}}{2}$,$\lambda_2=\frac{a-\sqrt{2a}}{2}$
что теперь?

[ewert]

Neytrall в сообщении #339003 писал(а):

Я нашёл два корня $\lambda_1=\frac{a+\sqrt{2a}}{2}$,$\lambda_2=\frac{a-\sqrt{2a}}{2}$
что теперь?

Теперь (для начала) -- найти их правильно.

[Neytrall]

Я перепроверил...то же самое выходит.

-- Вт июл 13, 2010 17:15:13 --

$2X_{t+2}+(2-2a)X_{t+1}+(\frac{a^2}{2}-a)X_t=a^2-6a+8$
$\lambda_1=\frac{a}{2}$,$\lambda_2=\frac{2a-4}{4}$

[ewert]

Что значит "то же самое", когда совсем другое?...

Впрочем, теперь уже можно и по существу.

Neytrall в сообщении #339003 писал(а):

1. Дано что $a\neq2,4$. Просят найти $X_t$ при известных $X_0,X_1$.

Ищите, процедура стандартна. Выпишите общее решение однородного уравнения, затем частное решение неоднородного... Только учтите, что случай $a=0$ -- тоже особый (там будет резонанс).

Neytrall в сообщении #339003 писал(а):

2.При каких $a$ $X_t$ будет сходиться для любых $X_0,X_1$?

Когда оба корня по модулю не превосходят единицы -- иначе возникнет экспоненциальная расходимость (особо оговорите, что корни не совпадают).

Neytrall в сообщении #339003 писал(а):

3.Если $a=3$ какая связь должна быть между $X_0,X_1$, что бы $X_t$ сходился?

Когда в решении отсутствует слагаемое с растущей экспонентой -- выпишите общее решение с этим ограничением и посмотрите, что из него следует.

[Neytrall]

$X_t=A(\frac{a}{2})^t+B(\frac{2a-4}{4})^t+2$

[terminator-II]

касалсось поста, который уже обсудили

[ewert]

Neytrall в сообщении #339013 писал(а):

$X_t=A(\frac{a}{2})^t+B(\frac{2a-4}{4})^t+2$

Только почему "+2"-то?...

[Neytrall]

ewert в сообщении #339012 писал(а):

Ищите, процедура стандартна. Выпишите общее решение однородного уравнения, затем частное решение неоднородного... Только учтите, что случай $a=0$ -- тоже особый (там будет резонанс).

Я эту тему плохо знаю (сидел на другой паре, когда её проходили)...что значит резонанс?

-- Вт июл 13, 2010 17:29:58 --

$(2+2-2a+\frac{a^2}{2}-a)K=a^2-6a+8$
$K=2$
$X_t=A(\frac{a}{2})^t+B(\frac{2a-4}{4})^t+K$

-- Вт июл 13, 2010 17:36:00 --

Меня просят выразить$X_t$ при помощи $X_0, X_1,a$

[ewert]

Neytrall в сообщении #339017 писал(а):

$(2+2-2a+\frac{a^2}{2}-a)K=a^2-6a+8$
$K=2$

А, да, это я зазевался, прошу прощения.

А "резонанс" -- это когда знаменатель геометрической прогрессии в правой части совпадает с корнем характеристического уравнения. Тогда перед подстановкой ожидаемого вида частного решения в уравнение надо дополнительно домножить это выражение на $t$ в степени кратность корня.

(хотя обозначать целочисленный параметр буквой $t$ как-то странно; но, видимо, у вас так модно...)

-- Вт июл 13, 2010 19:42:01 --

Neytrall в сообщении #339017 писал(а):

Меня просят выразить$X_t$ при помощи $X_0, X_1,a$

Заданные значения $X_0$ и $X_1$ -- это два требования на две произвольные постоянные в общем решении. Составляйте и решайте соотв. систему уравнений.

[Neytrall]

Так у меня вышел какой-то бред...я нашёл что $X_0=A+B+2 , X_1=\frac{a}{2}A+\frac{2a-4}{4}B+2$ выразил $A,B$ , подставил и вот что получил:
$X_t=(X_0-\frac{a}{2}X_0+a+X_1-4)(\frac{a}{2})^t+(\frac{a}{2}X_0-a+2-X_1)(\frac{2a-4}{4})^t+2$

[ewert]

Ну что вышло -- то и вышло (арифметику не проверял). Ожидать тут чего-то "красивого" особенно и не приходилось.

[Neytrall]

Тогда что дальше?
2. Ответ, который мне кажется верным $a\leqslant 2$

-- Вт июл 13, 2010 18:19:30 --

а на 3 вопрос
$X_1=0.5X_0+1$

[ewert]

Neytrall в сообщении #339032 писал(а):

2. Ответ, который мне кажется верным $a\leqslant 2$

Заведомо неверно -- оценка заведомо должна быть двусторонней: при уходе на любую из бесконечностей условия устойчивости заведомо сломаются.

Neytrall в сообщении #339032 писал(а):

а на 3 вопрос
$X_1=0.5X_0+1$

я ж не знаю, как это получено, потому и не могу оценить. Самому же решать -- лень, да и неспортивно.

[Neytrall]

ewert в сообщении #339046 писал(а):

Заведомо неверно -- оценка заведомо должна быть двусторонней: при уходе на любую из бесконечностей условия устойчивости заведомо сломаются.

значит
$0\leqslant a\leqslant 2$

-- Вт июл 13, 2010 20:14:40 --

а третий ответ получается подстановкой $a=3$, при этом для схождения функции должно соблюдаться $A=0$...
получается что
$X_0=B+2$
$X_1=0.5B+2$
от сюда и выводится связь между иксами

[ewert]

Вроде всё верно, хотя проверял наспех.

Про $a=0$ -- я снова напутал, хотя этот случай -- и впрямь особый. Там не резонанс, там просто уравнение вырождается, теряя порядок.