показание динамометра

[mihiv]

К потолку лифта привязан груз на веревке,веревка натянута,есть два равноправных об'яснения:лифт движется с ускорением или действует поле тяжести,то же и здесь:мне кажется проще рассмотреть пружину с грузом,подвешенную в поле тяжести.

[ewert]

Не следует уж так уж легкомысленничать: верёвка -- это не пружина.

[terminator-II]

ewert
Вот видите, когда вместо формального железобетонного решения, предлагается решение на пальцах, пусть даже и остроумное, сразу начинается дискуссия.

[ewert]

terminator-II в сообщении #338822 писал(а):

Вот видите, когда вместо формального железобетонного решения, предлагается решение на пальцах,

Дело в том, что железобетонные решения -- не всем доступны. Вот мне лично, например. Я эту теорию то ли никогда не знал, то ли очень давно и очень успешно сдал, так что и следов не осталось. Задачка же (по идее) -- явно более-менее школьная, и никаких таких теориев не предполагает.

(Я, кстати, изначально решал тупо и в лоб: $F(x)-F(0)=a\int\limits_0^x\rho(y)\,dy$, где $\rho(y)$ -- это зависимость линейной плотности от текущей координаты, которая явно связывается с силой $F(y)$ через относительную жёсткость и плотность в ненапряжённом состоянии, и получается дифференциальное уравнение 1-го порядка. Но это не идейно.)

[terminator-II]

плотность в линейной теории упругости считается постоянной, в том смысле что не меняется при деформациях

[ewert]

ну тут-то она заметно переменна

[terminator-II]

Нет. Тут все решается в рамках линейной модели. См. Седов Механика сплошной среды том 1.

[ewert]

terminator-II в сообщении #338952 писал(а):

Тут все решается в рамках линейной модели.

Что такое "линейная модель" -- в каком смысле линейная?... Если в смысле, что изменением плотности пренебрегаем -- то тут это заведомо неадекватно: $\rho=\dfrac{\rho_0}{1+k^{-1}F}$, где $k$ -- это "относительная жёсткость", т.е. сила, необходимая для того, чтобы растянуть пружину вдвое. И если она не слишком велика, то неравномерность плотностей очень даже заметна. Если даже условно считать, что она равна 1 кгс (что для динамометра вполне правдоподобно), то уже получаем перепад плотностей процентов в пять.

[terminator-II]

линейность означает, что

1) верен закон Гука
2) деформации малы (откуда следует, что мало изменение плотности)
3) относительные перемещения малы

Вашу формулу я не понимаю.

[ewert]

terminator-II в сообщении #338969 писал(а):

2) деформации малы (откуда следует, что мало изменение плотности)
3) относительные перемещения малы

Вот это-то и нехорошо: в динамометре они заведомо не малы, иначе что ж это и за динамометр-то такой.

terminator-II в сообщении #338969 писал(а):

Вашу формулу я не понимаю.

Почему?... Если $dy$ и $dy_0$ -- это длина некоторого участка пружины в растянутом и в свободном состояниях, а $\rho$ и $\rho_0$ -- соответствующие линейные плотности, то $\rho\,dy=\rho_0\,dy_0$, в то время как по закону Гука сила растяжения $F=k\cdot\dfrac{dy-dy_0}{dy_0}$, и всё.

[terminator-II]

Противоречивые вещи говорите.

ewert в сообщении #338973 писал(а):

3) относительные перемещения малы

Вот это-то и нехорошо: в динамометре они заведомо не малы, иначе что ж это и за динамометр-то такой.

Хорошо. Пишем полный тензор деформаций (без этого предположения):

$$\varepsilon_{11}=l+l^2/2,\quad l=\dfrac{dy-dy_0}{dy_0}$$

Закон Гука состоит в том, чтотензор напряжений (грубо говоря сила/площадь) пропорционален тензору деформаций. Значит в Вашей формуле

ewert в сообщении #338973 писал(а):

$F=k\cdot\dfrac{dy-dy_0}{dy_0}$

линейности по $l$ быть не может

[ewert]

terminator-II в сообщении #338981 писал(а):

Пишем полный тензор деформаций (без этого предположения):

$$\varepsilon_{11}=l+l^2/2,\quad l=\dfrac{dy-dy_0}{dy_0}$$

Закон Гука состоит в том, что тензор напряжений (грубо говоря сила/площадь) пропорционален тензору деформаций.

Так, я,кажется, понял, в чём недоразумение. В тензоре деформаций квадратичные члены появляются некоторым искусственным образом -- всё зависит от того, что конкретно понимать под "относительными" смещениями (относительными чего?...). Уж не могу сказать, почему именно такой вариант тензора полагается наиболее выгодным, но, во всяком случае, это -- некоторая условность. Которой, кстати, в одномерном случае не возникнет. Но дело не в этом. А в том, что закон Гука -- принципиально есть результат линеаризации. При которых все квадратичные поправки сгорают. И сгорают на равных правах -- и чисто геометрические, сидящие в тензоре деформаций, и поправки физического характера, определяемые нелинейностью физических характеристик среды. Которые с первыми ну решительно никак не связаны, а между прочим имеют тоже второй порядок. Поэтому говорить о том, что в "уточнённый" закон Гука будет входить вот ровно этот тензор деформаций, с коэффициентом ровно 1/2 -- нет решительно никаких оснований.

Зато утверждать обратное -- основания весьма есть.

terminator-II в сообщении #338981 писал(а):

Значит в Вашей формуле

ewert в сообщении #338973 писал(а):

$F=k\cdot\dfrac{dy-dy_0}{dy_0}$

линейности по $l$ быть не может

Дело в том, что для пружины линейность этой формулы, т.е. постоянство коэффициента $k$, и в весьма широком диапазоне $l$ -- это просто медицинский факт, против которого не попрёшь. Конечно, если шаг пружины много меньше её диаметра; но ведь так оно и есть.

-- Вт июл 13, 2010 18:14:15 --

Да, кстати, а в случае бесконечно жёсткой пружины считать, действительно, ничего не надо, там всё и так понятно. Причём даже не обязательно, чтобы деформации были малы -- достаточно, чтобы относительная жёсткость была много больше "веса" пружины при данном ускорении. Поскольку если в этих условиях перейти в систему отсчёта пружины, а потом сбросить добавившуюся при этом силу инерции, то такой сброс приведёт к бесконечно малым дополнительным деформациям и, следовательно, не изменит общего растяжения.

[terminator-II]

Хорошо. Вы утверждаете, что при растяжении пружины в рамках закона Гука необходимо учитывать изменение ее плотности. ДАйте ссылку где это написано. Ссылку где написано обратное я Вам уже привел (Конкретные задачи на растяжение рассмотрены во втором томе того же учебника).

[mihiv]

Применим более наивный подход,без теории упругости:представим себе,что пружина состоит из очень большого числа $N$ последовательно соединенных одинаковых пружин.Если длина пружины динамометра в нерастянутом состоянии $l$,длина маленькой пружины $\Delta x$.то $N=\frac l{\Delta x}$
Жесткость каждой маленькой пружины равна $k_0=Nk$,где k-жесткость пружины динамометра.Определим удлинение ненагруженной пружины (считая его малым,от этого ограничения можно избавиться при необходимости).Будем отсчитывать координату x от свободного конца пружины ,тогда сила,действующая на маленькую пружину (на каждый ее конец),находящуюся на расстоянии x от свободного конца, равна

$$F(x)=ma\frac xl$$

Под действием этой силы маленькая пружина удлиняется на величину

$$\delta l(x)=\frac {max}{lNk}=\frac {max\Delta x}{l^2k}$$

Полное удлинение всей пружины равно

$$\int \limits _0^l\frac {maxdx}{l^2k}=\frac {ma}{2k}$$

[ewert]

terminator-II в сообщении #338997 писал(а):

Вы утверждаете, что при растяжении пружины в рамках закона Гука необходимо учитывать изменение ее плотности. ДАйте ссылку где это написано.

Пожалуйста:

сообщение #338686

Кроме того, это тривиально. Видали когда-нибудь такую (в своё время довольно распространённую) игрушку -- очень широкую и тяжёлую пружинку, которая умеет "перетекать" по ступенькам лестницы?... Прикиньте мысленно, как она будет выглядеть, если её просто подвесить за верхний конец.

-- Вт июл 13, 2010 18:47:40 --

mihiv в сообщении #338999 писал(а):

Определим удлинение ненагруженной пружины (считая его малым,от этого ограничения можно избавиться при необходимости).

Дык, пафос-то как раз в том, чтобы от этого именно избавиться, т.е. чтобы учесть неоднородность плотности. А когда Вы пишете

mihiv в сообщении #338999 писал(а):

сила,действующая на маленькую пружину (на каждый ее конец),находящуюся на расстоянии x от свободного конца, равна

$$F(x)=ma\frac xl$$

-- то Вы как раз и считаете плотность постоянной вдоль пружины. А так-то конечно.