непродолжаемое решение диффура

[legate]

есть задача коши
$y'=-xy^3$ $y(-1)=-1$
надо найти предел максимального(непродолжаемого) решения при х стремящемся к бесконечности

и вторая задача $y'=\exp(-y/x)+y/x$
надо найти область определения максимального(непродолжаемого) решения

если решить первый диффур, то получится функция, которая на бесконечности стремится к 0, однако в ответах утверждается, что на бесконечность решение не продолжается, почему я понять не могу

со вторым вроде бы ответ луч от 0 до бесконечности, однако в ответах от 1, откуда взялась еденица, тоже понять не могу

собственно вопрос: где я что-то недопонял про непродолжаемые решения

[legate]

если я что-то не так написал, скажите, но, пожалуйста, помогите разобраться

[gris]

Я понял, что Вы само уравнение решили?
$y'=-xy^3;\quad y(-1)=-1$

$y=0$ не удовлетворяет НУ.

$y^{-2}=x^2$ вроде бы получается?

Через наше НУ проходит ветвь гиперболы, но она не продолжается непрерывно ни на неотрицательные $x$, ни на неотрицательные $y$.

Второе уравнение в определённом смысле однородное, напишите его решение.

Написано более для затравки.

Куда же продолжать?

[legate]

gris в сообщении #337873 писал(а):

Я понял, что Вы само уравнение решили?
$y'=-xy^3;\quad y(-1)=-1$

$y=0$ не удовлетворяет НУ.

$y^{-2}=x^2$ вроде бы получается?

Через наше НУ проходит ветвь гиперболы, но она не продолжается непрерывно ни на неотрицательные $x$, ни на неотрицательные $y$.

Второе уравнение в определённом смысле однородное, напишите его решение.

Написано более для затравки.

в первом вроде все так получается, но я все равно не могу понять, почему это решение не продолжаемо на плюс бесконечность, вот в чем загвоздка)


второе вроде разобрался и мне стыдно) (как решать знал, но просто не дорешал, не найдя нигде 1))
$u=y/x$
$u'=\exp(-u)/x$
$u=\ln\ln x+c$
соответсвенно область определения полученной функции от 1

$y=x\ln\ln x$

[ewert]

legate в сообщении #337882 писал(а):

$u'=\exp(-u)/x$
$u=\ln\ln x+c$
соответсвенно область определения полученной функции от 1

$y=x\ln\ln x$

Нет, конечно. Стандартная ошибка -- потеря скобок (плюс к тому ещё и модуля), на самом деле $y=x\,\ln(\ln|x|+C)$. Все решения продолжаемы на плюс и на минус бесконечности, но непродолжаемы к нулю, и все неограниченно (в обе стороны) и монотонно возрастают. Область определения каждого решения -- полуось, ни при какой константе не доходящая до нуля, но могущая подходить к нему сколь угодно близко. Смысл задания -- совершенно непонятен.

[gris]

Имелось в виду решение задачи Коши с НУ $(e;0)$.
Это действительно $y=x\ln(\ln x)$, что не продолжается непрерывно влево за 1.

[ewert]

gris в сообщении #337903 писал(а):

Имелось в виду решение задачи Коши с НУ $(e;0)$.

Не исключено. Только в оригинальном тексте про задачу Коши -- ни слова. Зато есть какая-то таинственная "максимальность" (если это Коши, то вместо "область определения максимального(непродолжаемого) решения" следовало говорить "максимальная область продолжения данного решения", а если не Коши, то максимальность можно понимать как угодно, но только не так). А слова (в первой задаче) про "предел максимального(непродолжаемого) решения при х стремящемся к бесконечности" -- вообще нелепы. Как можно снабжать решение какими-то эпитетами, когда оно -- единственно?...

Я хоть и экстрасенс, но не до такой же степени.

[gris]

Я вот что подумал. Может быть это у них было в лекциях. Ведь задача Коши (при условии...) имеет единственное решение в окрестности начальных условий. Его можно непрерывно продолжать вправо, влево, вверх и вниз. Максимальное решение это такое, которое уже не продолжается, хотя тут можно и запутаться.
НУ для второй задачи я просто притянул за уши к известному ответу.
А что там на самом деле один V.V., наверное, знает. Надо у него в учебнике посмотреть.