Линейные однородные двумерные реккурентные соотношения

[GunnerKade]

Как найти формулу для $P(m,n), 0 \leq m \leq n$ , определенного следующим реккурентным соотношением:
$P(0,n) = 1$,
$P(k,n) = P(k,n-1) + P(k-1,n-1)$ ?
Понятно, что $P(m,n) = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ , но как до этого дойти? И как вообще разрешать подобные двумерные реккурентные соотношения (two-dimensional recurrent equation)?
В частности, меня интересует значение $D(m,n), n,m \geq 0$, определенного так:
$D(0,n) = 1$,
$D(k,n) = D(k-1,n) + D(k-1,n-1) + D(k,n-1)$.

[ИСН]

Как хотите. Как и обычные. Выписать первые несколько, угадать формулу, подставить, доказать. Или мутить с производящей функцией (она будет от двух переменных).

[maxal]

GunnerKade в сообщении #337739 писал(а):

В частности, меня интересует значение $D(m,n), n,m \geq 0$, определенного так:
$D(0,n) = 1$,
$D(k,n) = D(k-1,n) + D(k-1,n-1) + D(k,n-1)$.

Начальных условий недостаточно для однозначного определения. Нужно еще знать, например, значения $D(k,0)$.