Квадратичные поля.

[Helen]

Необходимо разрожить простое число p = 17 в поле Q(√5), используя символ Кронекера ?
Буду благодарна за любую помощь.

[Mathusic]

Разложить на что, и как?

[Sonic86]

Видимо надо найти $a,b: 17=a^2-5b^2$. Причем не руками, а через упомянутый символ ...

-- Пт июн 18, 2010 07:56:04 --

вот например в Вики статейка:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0% ... 0%B1%D0%B8

-- Пт июн 18, 2010 07:59:30 --

Ну для начала надо наверное вычислить символ Кронекера $\left( \frac{17}{5} \right)$ (а м.б. и $\left( \frac{17}{-5} \right)$ - догадайтесь сами), чтобы определить, можно ли вообще $17$ разложить в $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ или нет.

[Mathusic]

Sonic86 в сообщении #332391 писал(а):

Видимо надо найти $a,b: 17=a^2-5b^2$. Причем не руками, а через упомянутый символ ...

Сначала тоже так подумал, но и подумал, что ТС сам должен пошевелить хоть немного некоторыми частями тела.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Mathusic писал(а):

Сначала тоже так подумал, но и подумал, что ТС сам должен пошевелить хоть немного некоторыми частями тела.

Я действительно сильно подсказал? Если да, то ладно - не буду больше

[BapuK]

(Оффтоп)

вопросик небольшой, а то что-то нигде найти немогу, что такое $\mathbb{Q}(\sqrt k)$? Совокупность чисел вида: $a+b\sqrt k $, где $a,b \in \mathbb{Q}$? или что-то другое?

[Sonic86]

(Оффтоп)

BapuK писал(а):

вопросик небольшой, а то что-то нигде найти не могу, что такое $\mathbb{Q}(\sqrt{k})$? Совокупность чисел вида: $a+b\sqrt{k}$, где $a,b \in \mathbb{Q}$? или что-то другое?

Да, именно это. Хотя я уже сам забыл Если $P$ - кольцо, а $x \not \in P$, то $P[x]$ - это множество многочленов от $x$ с коэффициентами из $P$. $P[x]$ является кольцом. $P(x)$, то это поле частных кольца $P[x]$. Здесь $P$ - это алгебра (кольцо, поле), а $x$ называют расширением $P$. А забыл я то, чем должно быть $P$, чтобы можно было говорить о $P[x]$ и $P(x)$, по-моему, все же $P$ должно быть кольцом... Но в новых книжках по алгебре это почти везде есть.

[Mathusic]

(про кольца)

Ещё через $P[[x]]$ обозначают пространство (в случае поля) формальных степенных рядов над $P$.

Sonic86 в сообщении #332460 писал(а):

Если $x \not \in P$.

Зачем это? $P[x]$ ведь просто формальное обозначение.

Sonic86 в сообщении #332460 писал(а):

А забыл я то, чем должно быть $P$, чтобы можно было говорить о $P[x]$ и $P(x)$.

Чтобы говорить о кольце многочленов достаточно кольца же $P$, а вот поле отношений можно строить, если это кольцо целостное.

[Helen]

Mathusic в сообщении #332375 писал(а):

Разложить на что, и как?

Разложить на простые множители. Как ? Методом перебора - долго искать.Если бы знала, не спрашивала бы!

-- Сб июн 19, 2010 10:27:53 --

Sonic86 в сообщении #332391 писал(а):

Видимо надо найти $a,b: 17=a^2-5b^2$. Причем не руками, а через упомянутый символ ...

-- Пт июн 18, 2010 07:56:04 --

вот например в Вики статейка:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0% ... 0%B1%D0%B8

-- Пт июн 18, 2010 07:59:30 --

Ну для начала надо наверное вычислить символ Кронекера $\left( \frac{17}{5} \right)$ (а м.б. и $\left( \frac{17}{-5} \right)$ - догадайтесь сами), чтобы определить, можно ли вообще $17$ разложить в $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ или нет.

Спасибо за помощь.А почему вы вычисляете символ Кронекера не 5/17 , а 17/5?
Ознакомилась со статьей в Вики, все понимаю, а почему в симфоле Лежандра можно делить на 0, а/в при в = 0, не понятно.Там все перевернуто с ног на голову, если сравнивать с данными их Г. Хассе " Лекции по теории чисел ".