ряд Тейлора

[maxmatem]

Цитата:

Речь не о факториалах

топикстартёр первоначально спросил откуда взялись дроби $\[ \frac{1} {{2\,}} \] $, $\[ \frac{1} {{6\,}} \] $ , вот я сказал про факториалы!

[gris]

Автор, конечно, непростительно много накосячил уже в первом сообщении, но всё-таки его недоумение было направлено не на то, откуда в выражении 1/2, а почему она на во втором члене разложения.
Тем не менее по одёжке-то его встретили, а вот теперь надо бы по уму и наблюдательности проводить.

[Gravist]

gris в сообщении #331124 писал(а):

почему она (1/2) на во втором члене разложения

Потому, что Зельдовичем Я.Б. и Ягломом И.М. (математик - с его подачи) производную предложено вычислять несколько иначе, принимая за приближенное значение не дробь $\dfrac{f(a+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, а дробь $\dfrac{f(a+\frac{\Delta x}2)-f(a-\frac{\Delta x}2)}{\Delta x}$. Другими словами - при вычислении производной в точке $a$ составляется приращение, которое получит функция при изменении аргумента от $a-\frac{\Delta x}2$ до $a+\frac{\Delta x}2$. Т.е. приращение берётся не $\Delta x$, а $\Delta x/2$, что-то типа замены переменной.

[ewert]

Да как ни определяй производную, а коэффициенты все-таки неверны. Они нечаянно на одну позицию влево сьехали.

[PapaKarlo]

Если речь идет о формулах в конце §1 "Представление функций в виде рядов" (страница 156 в издании Зельдович Я.Б., Яглом И.М. "Высшая математика для начинающих физиков и техников", М.: Наука, 1982), а именно

$f(a+2\Delta x)\approx f(a)+\frac12f'(a)(2\Delta x)+\frac16f''(a)(2\Delta x)^2+\frac{1}{24}f'''(a)(2\Delta x)^3$

и далее, то в них, без сомнения ошибка. Гадать о причине можно сколько угодно (мне, например, показалось, что формула получилась как огрызок предпоследнего варианта выкладок готовившего текст и использовавшего $\frac{\Delta y}{\Delta x}=y(a)+\frac12y'(a)(2\Delta x)+\frac16y''(a)(2\Delta x)^2+...$ (6.1.22) на предыдущей странице), но ИМХО толку нет: ошибка - она и в Африке ошибка. И последующие формулы содержат, естественно, ошибки, например, (6.1.26), в которой предлагается формула для приближенного вычисления второй производной в точке $a$ через значение... второй производной в точке $a$. Простая проверка приближенных вычислений по указанным формулам показывает, что они неверны (что и следовало ожидать).

(Оффтоп)

Мэтры поручили начинающему технику написать раздел, а он и напортачил...