Многочлен

[Djo7]

Найти такой многочлен$f(x,y)$, чтобы любой различной паре$x,y$ соответствовало одно значение многочлена, или другими словами, чтобы многочлен имел только одно решение

[ИСН]

Чо?

[Mathusic]

Djo7 в сообщении #330969 писал(а):

Найти такой многочлен$f(x,y)$, чтобы любой различной паре$x,y$ соответствовало одно значение многочлена,

Ответ: $\forall f(x,y).$

[RIP]

Подозреваю, что имеется в виду нечто такое. Придумать многочлен $f(x,y)\in\mathbb Z[x,y]$, чтобы соответствующее отображение $f\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z$ было инъективно.

[gris]

То есть, чтобы любая линия уровня состояла не более, чем из одной точки.
Для непрерывной функции это на первый взгляд невозможно. На второй тоже.

Вот разве что, если я правильно понял RIP, этим свойством могло бы обладать ограничение многочлена на целочисленную решётку? Непрерывную функцию, вроде бы можно сконструировать, только без формулы. Или есть формула?

Мне кажется, это сложная задача из теории чисел.

Тогда вопрос. Должен ли этот многочлен осуществлять биекцию? Ведь его непрерывность тут не работает.

[ИСН]

Да что там сложного. $(x,y)\leftrightarrow{(x+y-1)(x+y-2)\over 2}+x$ (это для натуральных; с целыми надо ещё немного повозиться).
Изящество формулировки топикстартера, впрочем, заслуживает специального - - -

[Djo7]

ИСН в сообщении #330970 писал(а):

Чо?

Не че

-- Пн июн 14, 2010 16:32:17 --

ИСН в сообщении #331072 писал(а):

Да что там сложного. $(x,y)\leftrightarrow{(x+y-1)(x+y-2)\over 2}+x$ (это для натуральных; с целыми надо ещё немного повозиться).
Изящество формулировки топикстартера, впрочем, заслуживает специального - - -

Молодец

(Оффтоп)

получи сахарок

ИСН, для целых чисел обобщить проще некуда- замени переменные их квадратами
А вот мое решение-$(x+y)^{x+y}+x$ для всех натуральных (или целых, обобщая по вышеуказанной схеме). Интересно, а можно обобщить на дискретный шаг(а не просто единичный)?

[Mathusic]

Djo7 в сообщении #331125 писал(а):

А вот мое решение-$(x+y)^{x+y}+x$.

Возможно, я нанесу вам психологическую травму, но это не полином от переменных $x,y$.

[Djo7]

ну ладно, функция

-- Пн июн 14, 2010 18:09:20 --

ну тогда$(x+y)^2+x$

[gris]

$(0+4)^2+0=(-9+4)^2-9$

[Djo7]

gris, рассматриваем только натуральные числа, а с целыми будет$(x^2+y^2)^2+x^2$

[gris]

$((-5)^2+17^2)^2+(-5)^2=(5^2+(-17)^2)^2+5^2$

[Djo7]

упс, небольшой коллапс....

[ИСН]

Я хотел начать объяснять автору важность слова "биекция" в условии, но теперь это, пожалуй, неактуально.

[Djo7]

Хорошо, а теперь придумайте для ТРЕХ переменных