Как посчитать момент инерции квадрата?

[malykh89]

Напишите, пожалуйста, как считают момент инерции квадрата. Я читал, что квадрат разбивают на мн-во бесконечно малых стержней, однако я не понял как считают их моменты инерции относительно центра масс квадрата.

[Парджеттер]

Вроде так, если мне память не изменяет.

$$J_c=\frac{m}{a^2} \int \limits_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int \limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (y^2+z^2)dydz=\frac{ma^2}{6}$$

[malykh89]

А подробнее можно? Почему мы берем пределы интегрирования от -a/2 до a/2?

[Парджеттер]

malykh89 писал(а):

А подробнее можно? Почему мы берем пределы интегрирования от -a/2 до a/2?

Потому что находимся в центре квадрата - его центре масс. В центре располагается ноль. И тогда границы квадрата по осям будут иметь координаты $-\frac a2$ и $\frac a2$.

[malykh89]

А можете, пожалуйста, расписать решение этого двойого интеграла? И почему тут двойной интеграл?

[Someone]

Парджеттер писал(а):

$$J_c=\frac{m}{a^2} \int \limits_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int \limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (y^2+z^2)dxdz=\frac{ma^2}{6}$$

Там опечатка в интеграле. Должно быть

$$J_c=\frac m{a^2}\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}(y^2+z^2)dydz=\frac m{a^2}\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}dy\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}(y^2+z^2)dz\text{.}$$

malykh89 писал(а):

А можете, пожалуйста, расписать решение этого двойого интеграла? И почему тут двойной интеграл?

Двойной интеграл здесь потому, что фигура двумерная.
Что касается "расписывания" решения, то Вы могли бы и сами попробовать это сделать. Тут не требуется ничего сложнее формулы $\int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, $\alpha\neq-1$.

[Парджеттер]

Someone писал(а):

Там опечатка в интеграле.

Совершенно верно. Благодарю. Уже исправил.

[malykh89]

А при раскрытии внутреннего интеграла у берется за константу? А потом z? Просто на первом курсе не изучаются кратные интегралы.

[Someone]

malykh89 писал(а):

А при раскрытии внутреннего интеграла у берется за константу?

Да. Вычисляете первообразную по $z$, подставляете пределы интегрирования. После этого остаётся интеграл по $y$.

malykh89 писал(а):

А потом z?

А никакого $z$ в этот момент уже не будет.

malykh89 писал(а):

Просто на первом курсе не изучаются кратные интегралы.

malykh89 писал(а):

Я читал, что квадрат разбивают на мн-во бесконечно малых стержней, однако я не понял как считают их моменты инерции относительно центра масс квадрата.

Внутренний интеграл (по $z$) фактически и даёт этот самый момент инерции "бесконечно тонкого" стержня относительно центра квадрата. Точнее, этот момент равен

$$\frac m{a^2}dy\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}(y^2+z^2)dz\text{.}$$

То есть, мы как бы разбиваем квадрат на "бесконечно узкие" полоски, параллельные стороне квадрата. Момент инерции каждой полоски относительно центра квадрата вычисляется интегрированием или по готовой формуле для стержня. А затем суммируем (интегрируем) моменты инерции этих полосок и получаем момент инерции квадрата.

P.S. Что-то Вы неожиданно вспомнили эту задачу через 7 месяцев...

[malykh89]

Тогда я забил на разбор этого вопроса, а сейчас все же решил понять.

[Tau_0]

Раз решили понять, то тогда вопрос. А что такое момент инерции…?
Для чего он вводится... Ковыряйте...

[ANTTER]

Может я чего не понимаю, но мне кажется момент инерции квадрата можно посчитать разбив его на четыре. Их моменты инерций (относительно их вершины) в 16 раз меньше, чем у большого.(масса в четыре раза меньше, а длинна в 2, но мы её возводим в квадрат!)
Получается, момент инерции большого квадрата относительно центра равен его моменту инерции относительно края, делённому на четыре
(1*4/16 = 1/4), что в свою очередь можно найти по теореме Штейнера.
У меня получилось, что момент инерции квадрата относительно центра равен M*a^2/6, где a - длина стороны.

[ewert]

ANTTER в сообщении #327603 писал(а):

Может я чего не понимаю, но мне кажется момент инерции квадрата можно посчитать разбив его на четыре.

Можно, хотя и не очень понятно, в какое конкретно место Вы приткнули теорему Штейнера. Но в конце концов действительно получается.