Линейное, неоднородное уравнение второго порядка

[brute11k]

Линейное, неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
$u''(x)=u'(x)+3, u'(0)=2, u(0)=1;$

Ход решения:

$u'(x)=p(y), u''(x)=p\frac{dp}{dy};$

Подставляем:

$p\frac{dp}{dy}=p+3;$
$pdp=pdy+3dy;$
$pdp=dy(p+3);$
$\frac{p}{p+3}dp=dy;$
$\int{\frac{p}{p+3}dp}=\int{dy};$
$\int{\frac{p+3}{p+3}dp} - \int{\frac{3}{p+3}dp}=y+C_1;$
$p-3ln(p+3)=y+C_1;$
$u(0)=1, u'(0)=2; =>$ подставляем:

$2-3ln5=1+C_1;$
$C_1=1-3ln5;$

Подставляем $C_1$:

$u'(x)-3ln(u'(x)+3)=u(x)+1-3ln5;$

... Дальше - ступор.

[Хорхе]

brute11k в сообщении #326191 писал(а):

$u'(x)=p(y), u''(x)=p\frac{dp}{dy};$

[brute11k]

Проблема всё еще актуальна.

[cyb12]

brute11k в сообщении #326191 писал(а):

Ход решения:

$u'(x)=p(y), u''(x)=p\frac{dp}{dy};$

Зачем вам переменная $y$ (и что она значит) ? Сделайте лучше $u'(x)=p(x),$ $u''(x)=p'(x)$ (если Вы хотите решать этим методом).
Тогда получится линейное уравнение первого порядка, которое просто решается (с начальным условием $p(0)=2$). А затем вернитесь к $u$.

[ewert]

А еще грамотнее -- решить методом неопределенных коэффициентов как линейное уравнение с постоянными коэффициентами и со стандартной правой частью. Хотя это, видимо, и не предполагалось составителем; а совершенно напрасно.

[brute11k]

Аригато за помощь! Весьма признателен!
Выкладываю ход решения, так как я слепой и нигде ничего подобного и подробного здесь не видел(по поиску):

Ход решения:

Сделаем замену:
$u'(x)=p(x), u''(x)=p'(x);$

Подставляем:

$p'(x)=p(x)+3;$ - линейное неоднородное уравнение.
$\frac{dp}{dx}=p(x)+3;$
$\frac{dp}{p(x)+3}=dx;$
$\int{\frac{dp}{p(x)+3}}=\int{dx};$
$ln(p(x)+3)=x+C_1;$
подставим начальное условие: $p(x)=u'(0)=2$

$ln(2+3)=0+C_1;$
$C_1=ln5;$
преобразуем выражение $ln(p(x)+3)=x+C_1;$ к виду $p(x)=e^x*e^{C_1}-3$ и подставим $C_1$:
Если выражения равны, то равны и показатели степеней при равных основаниях: $x=y => e^x=e^y$
Применим это свойство:

$e^{ln(p(x)+3)}=e^{x+C_1};$ и воспользуемся свойством: $e^{lnx}=x$:
$p(x)+3=e^{x}*e^{C_1};$
подставляем $C_1$:

$p(x)=e^{x}*e^{ln5}-3;$
вернемся к $u'(x)=p(x)$ ($e^{ln5}=5$):

$u'(x)=5e^x-3;$
$\frac{du}{dx}=5e^x-3;$
$\int{du}=\int{(5e^x-3)dx};$
$u=5e^x-3x+C_2;$
подставим u(0)=1:

$1=5e^0-3*0+C_2;$
$C_2=-4;$
подставим:

$u=5e^x-3x-4;$

Это и есть ответ.

[ewert]

brute11k в сообщении #326709 писал(а):

преобразуем выражение $ln(p(x)+3)=x+C_1;$ к виду $p(x)=e^x*e^{C_1}-3$ и подставим $C_1$:

Формально не совсем верно (на самом деле $\ln|p(x)+3|=x+C_1$ и соответственно $p(x)=e^x\cdot(\pm e^{C_1})-3$). И, главное, не разумно: следует переписать как $p(x)=e^x\cdot\widetilde C_1-3$, где $\widetilde C_1\equiv\pm e^{C_1}$ произвольна. А ответ верен.