Помогите показать равномерную сходимость

[travko]

Есть интеграл $\int^{1}_{0} \frac{\ln{(1-x)}}{x}dx$, его первообразная не выражается через элементарные функции, поэтому, подынтегральное выражение раскладываем в ряд $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n-1}}{n} dt$, теперь нужно вынести знак суммы из под интеграла, но он должен быть равномерно сходящимя, как это показать?

[ewert]

travko в сообщении #323913 писал(а):

, но он должен быть равномерно сходящимя,

1) Кому он должен-то?...

2) И не сходится он равномерно.

3) И не обязательно это для корректности почленного интегрирования.

[travko]

ewert в сообщении #323919 писал(а):

travko в сообщении #323913 писал(а):

, но он должен быть равномерно сходящимя,

1) Кому он должен-то?...

2) И не сходится он равномерно.

3) И не обязательно это для корректности почленного интегрирования.

1) Сумма должна быть равномерно сходящейся
2) Раз не сходится равномерно, как этот интеграл представить через дилогарифм Эйлера?
3) Разве для того, что бы поменять знак суммы и интеграла местами, не нужно, что бы сумма была равномерно сходящейся?

[ewert]

Рассмотрите интеграл от нуля до единицы минус эпсилон. Там ряд сходится воистину равномерно. А потом просто перейдите к пределу при эпсилоне, стремящемся к нулю -- и в исходном интеграле, и в получившемся ряде.

[travko]

Тогда какие условие на то, что бы применить это свойство?

[ewert]

Пардон, не на ту кнопку нажал, см. выше.

[travko]

Хорошо, тогда как показать сходимость ряда при $0 < x < 1-\varepsilon$

[lel0lel]

Радикальный признак Коши подойдёт.