Задачка по стереометрии.

[tgv09]

Два шара касаются друг друга и данного двугранного угла. Пусть точки A,B - точки касания этих шаров с гранями (различные точки принадлежат различным граням и шарам). Найти отношение отрезка AB к отрезку образованному точками пересечения AB со сферами.

Даны только двугранный угол и радиусы шаров.

Тут у меня сложность вызвало обобщение задачи. А то в случае,когда имеет смысл рассматривать сечение перпендикулярное двугранному углу все просто,а вот если сечение под углом к "оси" двугранного угла...

Все становится совсем нетривиально. :(

[Ales]

tgv09 в сообщении #322044 писал(а):

Тут у меня сложность вызвало обобщение задачи

Что за обобщение?

[tgv09]

Я так понял,что там больше одного способа расположить сферы. Вот как бы эти способы в один объединить?

[ИСН]

Это как это это?

[tgv09]

Что именно?

[ИСН]

Я вижу один способ.

[tgv09]

А описать его можете?

[gris]

Условие написано невнятно. Если каждый шар касается обоих граней угла, да ещё соседнего шара, то точек касания 4. Или выбраны две, по одной для каждой грани и каждого шара? Шары могут быть разного диаметра?
То есть шары лежат в двугранном угле, как в жёлубе один за другим?
И что за обобщение? Решите задачу сначала для шаров одинакового диаметра.
Блин, ну и понаписали уже.

[Ales]

tgv09 в сообщении #322061 писал(а):

Я так понял,что там больше одного способа расположить сферы. Вот как бы эти способы в один объединить?

Способ только один. Возьмите книгу - угол, и два шарика от пинг-понга и биллиарда положите их в книгу, чтобы они касались друг-друга.
Сразу видно: только один способ, значит все расстояния определены однозначно и все можно вычислить.

Советую сразу: центры шаров лежат на плоскости симметрии угла,
прямая проходящие через центры пересекает прямую - основание угла.
Расстояние между центрами известно, известны перпендикуляры из центров на стороны угла.
Искомый отрезок тоже можно найти: там будет два равнобедренных треугольничка с вершинами в центрах шаров и основаниями на кусках отрезка АВ, между основаниями искомый отрезок.
Картинку нарисуйте без шаров. Тогда легко решите задачу.

А если хотите, можно решить методом координат через аналитическую геометрию.

[tgv09]

Цитата:

прямая проходящие через центры пересекает прямую - основание угла.

По-моему можно придумать так,чтобы прямая проходящая через центры была под разными углами (0;90] к прямой - основанию угла. Отсюда и следуют разные случаи. Ведь нам не задано отношение радиусов в явном виде.

[ИСН]

Это не разные случаи. Это один случай. Или у Вас в учебнике геометрии отдельные главы - про шары с радиусом до метра, и про более крупные?

[gris]

Наконец-то до меня дошло, что Вы понимаете под случаем с вертикальной проекцией - когда маленький шар лежит строго под большим. В смысле прямая соединяющая их центры, перпендикулярна ребру угла.

[tgv09]

Да, именно это я старался описать в своем предыдущем сообщении.

[Ales]

Надо найти размеры трапеции, вершины которой точки касания. Ее диагональ - АВ.
После этого надо обратить внимание что пересечение шара с плоскостью - окружность.
Строим две окружности (пересечения шаров), их можно построить ведь они касаются строн трапеции.
Они будут пересекать эту диагональ.

[Sasha2]

А разве эта задача не допускает такое планиметрическое упрощение:
"Две окружности, вписанные в один угол, касаются друг друга" и далее по тексту...