Уравнение или тождество?

[Xaositect]

Ну вот в уравнении $x=3$, или, скажем, $x^2 - 2x = 3$ справа эта функция и стоит.

Я в одной из книг по выислимости видел обозначение $0(x)$ для функции, которая принимает всегда значение $0$. Так что если хотите, можете писать уравнение $x=3$ в виде $\mathrm{id}(x) = 3(x)$, а $x^2 - 2x = 3$ в виде $(\lambda t. t^2 - 2t)(x) = 3(x)$. Другое дело, что это излишний формализм, без него и так все понятно. Еще можно $(\lambda t. 3)(x)$.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319451 писал(а):

в уравнении $x=3$, или, скажем, $x^2 - 2x = 3$ справа эта функция и стоит.

Это уравнение $x=3$, Вы считаете, задает линию. Вы можете тоже, :) , прямо ответить, можно ли уравнением задать точку? Можно ли функцией задать точку?

Xaositect в сообщении #319451 писал(а):

Другое дело, что это излишний формализм,

Да нет же, это реальность. Откройте вольфрамовскую математику. И напишите функцию. Почему в этом пакете различаются уравнение, присвоение, тождество, указание на элемент(корень уравнения)? Потому что хаки придется расставлять как мухоморы в летнем лесу, чтобы разобраться, чего хочет юзер от алгоритма вычисления, когда использует только знак равенство "=". А поскольку результат Out:=xxx используется как входные данные (пайпинг) для следующих вычислений, то и вообще дурдом получится. Реальность — единственный судья истинности, IMHO.

[paha]

(Оффтоп)

Xaositect
не завидую Вам

[Xaositect]

errnough в сообщении #319462 писал(а):

Это уравнение , Вы считаете, задает линию. Вы можете тоже, :) , прямо ответить, можно ли уравнением задать точку? Можно ли функцией задать точку?

Что значит "задать уравнением линию(точку)"? А тем более "задать функцией точку"?

errnough в сообщении #319462 писал(а):

Да нет же, это реальность. Откройте вольфрамовскую математику. И напишите функцию. Почему в этом пакете различаются уравнение, присвоение, тождество, указание на элемент(корень уравнения)?

Так оно и в других местах отличается, только пишется одинаково, потому что человек, в отличие от программы, может воспринимать контекст, который объясняется в книгах естественным языком.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319473 писал(а):

Что значит "задать уравнением линию(точку)"?

В смысле уравнений линий на плоскости.

----

Пусть в пространстве $R^2$ задана некоторая система координат. Уравнение, связывающее две упорядоченные переменные, является уравнением линии в заданной системе координат, если координаты любой точки линии удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на этой линии, этому уравнению не удовлетворяют.

Если вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" говорить "точка удовлетворяет уравнению", то это именно то, что я хотел спросить.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319478 писал(а):

В смысле уравений линий на плоскости.

На плоскости уравнение $x=3$ задает прямую, а $x^2 + y^2 = 0$ - точку.

-- Сб май 15, 2010 00:26:07 --

Точнее, множество из одной точки, если уж быть формалистами.

[errnough]

Пусть в пространстве $R^1$ задана некоторая система координат (одна ось). Все точки $x$ этой оси составляют множество $X$. Назовем эту ось $X$. Тождество, связывающее переменную $x$ с элементом из множества $X$, является "уравнением" точки в заданной системе координат. Например, в школьной нотации, на числовой прямой $X$ точку $3$ задают "уравнением" $x=3$.

При отображении $R^1$ в пространство $R^2$ "уравнение" $x=3$ по прежнему задает точку на оси X.

Термин "уравнение" здесь не годится.

-- Сб май 15, 2010 00:35:38 --

Xaositect в сообщении #319473 писал(а):

Что значит ... "задать функцией точку"?

Пусть заданы два множества $X$ и $Y$, с единственными элементами $x$ и $y$.
Элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$. В этом случае говорят, что на множестве $X$ задана функция $f$ (а также — что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что $y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.

Это функция?

[Xaositect]

Если есть прямая $\mathbb{A}^1$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает точку.
Если есть плоскость $\mathbb{A}^2$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает прямую. Обозначим эту прямую $l$
Если при этом на этой плоскости провести прямую, отличную от $l$, то на ней естественным образом индуцируется система координат, и в этой индуцированной системе координат уравнение $x=3$ задает точку, а именно точку пересечения этой прямой и $l$

Дело в том, что когда мы говорим "уравнение задает некоторое множество", мы всегда подразумеваем некоторое пространство, в котором мы работаем, и некоторую систему координат в этом пространстве. А еще - что каждой координате соответствует некоторая переменная. И это все, как правило, понятно из контекста и каждый раз писать это будет излишним формализмом.

Вот если на плоскости задана полярная система координат $(x,\phi)$ (обычно обозначают $(r,\phi)$, но никто ж не мешает), то уравнение $x=3$ задает окружность.

-- Сб май 15, 2010 00:48:49 --

errnough в сообщении #319486 писал(а):

Xaositect в сообщении #319473 писал(а):

Что значит ... "задать функцией точку"?

Пусть заданы два множества $X$ и $Y$, с единственными элементами $x$ и $y$.
Элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$. В этом случае говорят, что на множестве $X$ задана функция $f$ (а также — что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что $y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.

Это функция?

Так $x$ и $y$ - это элементы множеств или переменные?
Пусть $X = \{x_0\}$, $Y = \{y_0\}$, $f$ - отображение, ставящее в соответствие элементу $x_0\in X$ элемент $y_0\in Y$. Да, $f$ - это функция $X\to Y$.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319488 писал(а):

Если есть прямая $\mathbb{A}^1$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает точку.
Если есть плоскость $\mathbb{A}^2$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает прямую.

Что задает на плоскости $\mathbb{A}^2$ уравнение $y=3\cdot x^0$?

[Xaositect]

errnough в сообщении #319489 писал(а):

Xaositect в сообщении #319488 писал(а):

Если есть прямая $\mathbb{A}^1$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает точку.
Если есть плоскость $\mathbb{A}^2$, и на ней зафиксирована система координат, то $x=3$ задает прямую.

Что задает на плоскости $\mathbb{A}^2$ уравнение $y=3\cdot x^0$?

Если считать, что $0^0 = 1$, то прямую, ту же самую, что и $y=3$
Если считать, что $0^0$ неопределено, то прямую с выколотой точкой.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319488 писал(а):

Так $x$ и $y$ - это элементы множеств или переменные?

А почему в этом случае потребовалось это конкретизировать и переписывать общее определение функции? Что изменилось от того, что множество из одного элемента, а не из двух, например?

Xaositect в сообщении #319490 писал(а):

Если считать, что $0^0 = 1$, то прямую, ту же самую, что и $y=3$

Хорошо, утверждений уже много, завтра расставим их в логическую связь.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319492 писал(а):

А почему в этом случае потребовалось это конкретизировать и переписывать общее определение функции? Что изменилось от того, что множество из одного элемента, а не из двух, например?

Ничего не изменилось. Если есть множества из двух элементов, и мы явно зададим отображение для каждого элемента, мы получим функцию.
А вот путать элемент множества и переменную, принимающую значение на этом множестве - уже нехорошо.

[errnough]

errnough в сообщении #319486 писал(а):

Пусть заданы два множества $X$ и $Y$, с единственными элементами $x$ и $y$.
Элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$. В этом случае говорят, что на множестве $X$ задана функция $f$ (а также — что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что $y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.

Xaositect в сообщении #319493 писал(а):

путать элемент множества и переменную, принимающую значение на этом множестве - уже нехорошо.

Это было переделанное под конкретный случай (всего лишь добавлением указания, что множества состоят из одного элемента) определение функции Виноградова. Остальное слово в слово. Определение некорректное?

[errnough]

В логическую цепочку утверждения и определения:

1. Зададим функцию: $f:X\to Y$, где множество $X$ состоит из одного элемента $\{3\}$, а множество $Y$ из одного элемента $\{y\}$. Запишем это $y(3)=3$.
2. Зададим функцию: $k:X\to Y$, где множество $X$ состоит из одного элемента $\{x\}$, а множество $Y$ из одного элемента $\{y\}$. Запишем это $y(x)=x$.
3. Пробуем по определению уравнения, из Виноградова:
   
   
   У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$
   нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где
   $F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$.
   
   составить уравнение двух функций и найти его решения. Для это нужно установить содержимое множества $A$. Отображения $F$ и $\Phi$ одновременно указывают на единственный элемент, $3$, следовательно, это и есть множество $A$. Запись равенства есть $3=x$.
   
4. Цитирую Виноградова: «Если У. имеет решениями все числа области $A$, то оно наз. тождеством в области $A$.»
5. Равенство $3=x$ есть на самом деле тождество, по определению.
6. Примеры тождеств: $x=x$, $3=3$, $3=x$. "Решать" тождества звучит так же, как "решать интеграл" или "решать производную".
7. Под одной и той же записью не может пониматься одновременно и уравнение, и тождество, иначе впадаем в противоречие. Противоречие обходится использованием известным еще со времен Аристотеля, но прочно забытым сегодня методом — обобщения. Общим термином (родом) будет равенство, конкретным разными элементами (видами) которого есть уравнение и тождество. Равенство может быть либо уравнением, либо тождеством. Отсюда и был мой вопрос в стартовом сообщении.

------------------------

Теперь смотрите, как логично начинают складываться термины в следующем силлогизме... Поскольку в предыдущем рассуждении было показано, что равенство $x=3$ есть тождество с единственным элементом области $A$ и равенство истинное, т.е. значения функций равны, то элементу из $A$ соответствует также единственный элемент из области значений двух функций. Один элемент из области переменной, и один из области значений — это точка. Упоминание о размерности пространства излишне.

--------------------------

Требование единственности и однозначности записи уравнения, определяющего алгебраическую линию, совершенно необходимо. Иначе появляются парадоксы.

Пусть равенство $x=3$ задает точку в пространстве, лежащую на оси $X$. Если требования однозначности нет, $x=3$ равносильно $x-3=0$, и далее $x-3+0 \cdot y=0$. Но это уже линия. А еще одно равносильное, $x-3+0 \cdot y + 0 \cdot z =0$ и наше первоначальное уравнение якобы уже задает поверхность. А это уже не математика, а, по выражению AD, "размахивание руками" :)

A propos, точка это алгебраическая линия? :)

[Xaositect]

errnough в сообщении #319570 писал(а):

В логическую цепочку утверждения и определения:

1. Зададим функцию: $f:X\to Y$, где множество $X$ состоит из одного элемента $\{3\}$, а множество $Y$ из одного элемента $\{y\}$. Запишем это $y(3)=3$.

Нет, эта запись неверная, пишется так: y = f(3).

Цитата:

Зададим функцию: $k:X\to Y$, где множество $X$ состоит из одного элемента $\{x\}$, а множество $Y$ из одного элемента $\{y\}$. Запишем это $y(x)=x$.

Нет, эта запись неверная, пишется так: y = k(x). Кроме того, вы поменяли множество $X$, поэтому приравнять эти две функции не можете. Точнее можете, но для этого их надо рассмотреть на расширенном множестве $\{3,x\}$.

Цитата:

Пробуем по определению уравнения, из Виноградова:

У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$
нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где
$F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$.

составить уравнение двух функций и найти его решения. Для это нужно установить содержимое множества $A$. Отображения $F$ и $\Phi$ одновременно указывают на единственный элемент, $3$, следовательно, это и есть множество $A$. Запись равенства есть $3=x$.

Тут не понял, но если мы говорим об уравнении $x=3$, то $A = \mathbb{R}$, $F = \mathrm{id}$, а $\Phi$ есть функция-константа 3.

Цитата:

Цитирую Виноградова: «Если У. имеет решениями все числа области $A$, то оно наз. тождеством в области $A$.»

Равенство $3=x$ есть на самом деле тождество, по определению.

Примеры тождеств: $x=x$, $3=3$, $3=x$. "Решать" тождества звучит так же, как "решать интеграл" или "решать производную".

Если мы в качестве $A$ рассматриваем $\mathbb{R}$(как обычно подразумевается в школе), то $x=3$ - это не тождество, так как, например, число 4 не является его решением, поскольку $4=3$ не является верным числовым равенством. $x=x$ и $3=3$, безусловно, являются тождествами.

Цитата:

• Под одной и той же записью не может пониматься одновременно и уравнение, и тождество, иначе впадаем в противоречие. Противоречие обходится использованием известным еще со времен Аристотеля, но прочно забытым сегодня методом — обобщения. Общим термином (родом) будет равенство, конкретным разными элементами (видами) которого есть уравнение и тождество. Равенство может быть либо уравнением, либо тождеством. Отсюда и был мой вопрос в стартовом сообщении.

Вы сами привочите определение: «Если У. имеет решениями все числа области $A$, то оно наз. тождеством в области $A$.» То есть родовое понятие - уравнение, а тождество - это видовое понятие, частный случай уравнения.

Цитата:

Требование единственности и однозначности записи уравнения, определяющего алгебраическую линию, совершенно необходимо. Иначе появляются парадоксы.

Пусть равенство $x=3$ задает точку в пространстве, лежащую на оси $X$. Если требования однозначности нет, $x=3$ равносильно $x-3=0$, и далее $x-3+0 \cdot y=0$. Но это уже линия. А еще одно равносильное, $x-3+0 \cdot y + 0 \cdot z =0$ и наше первоначальное уравнение якобы уже задает поверхность. А это уже не математика, а, по выражению AD, "размахивание руками" :)

Требование единственности и однозначности излишне, а зачастую неудобно и даже недостижимо: например, невозможно определить по двум формулам, содержащим модуль, синусы, косинусы, сложение и умножение, задают ли они одну и ту же функцию. А значит, и алгоритма, приводящего формулу к единственной и однозначной канонической форме, не существует.

Цитата:

A propos, точка это алгебраическая линия? :)

Множество из одной точки - это алгебраическая кривая.