Отсутствие предела для комплексной функции

[sasha_vertreter]

Добрый день,

я разбираю доказательство отсутствия предела для комплексной функции и не понимаю одно место:

Дано$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, где $v(x,y)=0$ для любых $x,y$ и $u(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$ при $((x,y)\neq(0,0))$.

Надо доказать, что не существует $\lim_{z\to0}f(z)$.
И идет такая строчка:
$f(y^2+iy) = \dfrac{y^4}{y^4+y^4}=\frac{1}{2}$.

Я не понял откуда взялось $f(y^2+iy)$... Помогите понять, пожалуйста.

[ИСН]

Если на месте запятой видишь символ плюса, не верь глазам своим.
А, нет, всё нормально. Откуда взялось? - старшина сказал. Могу я подставить в функцию, просто так, ради интереса, любое комплексное число? Могу. Вот и подставляю.

[Ales]

На параболе $x=y^2$ Ваша функция равна $\frac 1 2$.
Эта парабола проходит через 0.
Найди другую линию, проходящую через 0, на которой функция имеет не такие значения.

[мат-ламер]

Вы рассмотрите последовательность, гле $x^n$ и $y^n$ стремятся к нулю, но с разной скоростью ($x^n$ быстрее - насколько - сами посчитайте). Разрывность и вылезет. (Пока писал - уже ответили).

[sasha_vertreter]

Ales в сообщении #319429 писал(а):

На параболе $x=y^2$ Ваша функция равна $\frac 1 2$.
Эта парабола проходит через 0.
Найди другую линию, проходящую через 0, на которой функция имеет не такие значения.

первое, что пришло в голову $x=-y^2$, тогда $f(z)=-1/2$.

то есть нам надо найти хотя бы одно такое направление стремления к $0$, чтобы для сколь угодно малых $z$ "вдоль" этого направления существовала такая окрестность точки 0, внутри которой мы могли бы иметь разные значения функции $f(z)$

[Ales]

sasha_vertreter в сообщении #319440 писал(а):

Ales в сообщении #319429 писал(а):

На параболе $x=y^2$ Ваша функция равна $\frac 1 2$.
Эта парабола проходит через 0.
Найди другую линию, проходящую через 0, на которой функция имеет не такие значения.

первое, что пришло в голову $x=-y^2$, тогда $f(z)=-1/2$.

то есть нам надо найти хотя бы одно такое направление стремления к $0$, чтобы для сколь угодно малых $z$ "вдоль" этого направления существовала такая окрестность точки 0, внутри которой мы могли бы иметь разные значения функции $f(z)$

В качестве упражнения, придумайте другие линии.
Нарисуйте параболы, тогда сразу будет очевидно что предела нет.
Надеюсь Вы сможете доказать через "епсилон-дельта", или как от Вас требуют.

[sasha_vertreter]

спасибо! мне нужно подумать, я только начал эту тему - мне пока сложно.

а параболы это координатные линии $\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$?

[Ales]

sasha_vertreter в сообщении #319452 писал(а):

а параболы это координатные линии ?

Не понял вопрос.

[sasha_vertreter]

я просто немного запутался

парабола: $y^2=2px$...

[sasha_vertreter]

может быть Вы мне тогда могли бы помочь сначала понять как решить такой пример:

пользуясь определением предела, показать, что:

$\lim\limits_{z\to1}\dfrac{2z+1}{z+2}=1$.

Следуя определению предела, я должен найти $\delta(\epsilon)>0$, такое, что из $0<|z-1|<\delta$ следует $\left|\dfrac{2z+1}{z+2}-1\right|=\left|\dfrac{z-1}{z+2}\right|<\epsilon$.

Но $\left|\dfrac{z-1}{z+2}\right|<|z-1|<\delta$, и получается, что я могу взять $\delta=\epsilon$?
И все, никак не пойму, что делать дальше...

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #319477 писал(а):

Но $\left|\dfrac{z-1}{z+2}\right|<|z-1|<\delta$, и получается, что я могу взять $\delta=\epsilon$?

Можете, только надо добавить оговорку: $\delta\leqslant2$ (только при этом гарантировано $|z+2|\geqslant1$, т.к. $|z+2|=|(z-1)+3|\geqslant3-|z-1|$). Т.е. $\delta=\min\{\varepsilon,2\}$.

[sasha_vertreter]

ewert, Ales - спасибо большое!

я хотел бы решить еще один предел по определению и вернуться к первому, чтобы совсем понятно было:

$\lim\limits_{z\to (3-4i)} |z| =5$.
как и раньше по любому $\varepsilon>0$ я должен найти $\delta_{\varepsilon}>0$, такое, что $| |z|-5 |<\varepsilon$ как только $0<|z-(3-4i)|<\delta$.

Действительно: $| |z|-5|=| |z|-|3-4i| | \leqslant |z -(3-4i)|<\delta$. Следовательно $\delta = \varepsilon$.
(как я понимаю, $f(z)=|z|$ отображает $f:\mathbb C \to \mathbb R$, и, если я возьму круг радиусом 1 с центром в $z=3-4i$ - модули этих чисел будут принадлежать интервалу (4,6) ).

Верно?

[sasha_vertreter]

Ales в сообщении #319454 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #319452 писал(а):

а параболы это координатные линии ?

Не понял вопрос.

там просто почему-то тогда дробь $\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$ не пропечаталась .


возвращаясь к этому пределу, вот так выглядят координатные линии $u(x,y)$, но как можно увидеть, какие линии нас интересуют?

и стоит ли выражать $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ как $f(z)$ - я просто думаю как бы это сделать более наглядно

[Ales]

sasha_vertreter в сообщении #319887 писал(а):

возвращаясь к этому пределу, вот так выглядят координатные линии , но как можно увидеть, какие линии нас интересуют

Я раньше не встречался с термином "координатные линии".
Если Вы имеете в виду линии, на которых Ваша функция постоянна: $u(x,y)=const$,
то это действительно разные параболы $px=y^2$.
По этим неверным рисункам трудно догадаться.

-- Вс май 16, 2010 10:54:45 --

И к чему здесь комплексная переменная тоже непонятно.

[sasha_vertreter]

Ales в сообщении #319898 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #319887 писал(а):

возвращаясь к этому пределу, вот так выглядят координатные линии , но как можно увидеть, какие линии нас интересуют

Я раньше не встречался с термином "координатные линии".
Если Вы имеете в виду линии, на которых Ваша функция постоянна: $u(x,y)=const$,
то это действительно разные параболы $px=y^2$.
По этим неверным рисункам трудно догадаться.

да - теперь понятно - спасибо большое! рисунки действительно неправильные, я думаю правильным было бы так:

Ales в сообщении #319898 писал(а):

И к чему здесь комплексная переменная тоже непонятно.

Вы имеете в виду условие задачи?