Ещё о гиперболе.

[Vadim Shlovikov]

1. Параметрическая формула гиперболы.
Параметрическая формула гиперболы записывается:
$\begin{cases}x=a\frac{1}{\cos\alpha}\\y=b\tg\alpha.\end{cases}$
Доказательство:
Рассмотрим тригонометрическую формулу:
$\frac{1}{\cos^2\alpha}-\tg^2\alpha=1.$
Допустим $\begin{cases}x=a\frac{1}{\cos\alpha}\\y=b\tg\alpha\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{a}=\frac{1}{\cos\alpha}\\\frac{y}{b}=\tg\alpha.\end{cases}$
Отсюда получаем уравнение гиперболы $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$
Формула доказана.
2. Интеграл длины дуги гиперболы, выраженный через тригонометрические функции.
Рассмотрим параметрическую формулу гиперболы:
$\begin{cases}x=a\frac{1}{\cos\alpha}\\y=b\tg\alpha,\end{cases}$ получаем $\begin{cases}dx=a\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}d\alpha\\dy=b\frac{1}{\cos^2\alpha}d\alpha.\end{cases}$
Отсюда интеграл длины дуги гиперболы будет равен:
$L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}|\sqrt{a^2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2+b^2\frac{1}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2}|=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{a^2\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}d\alpha,$
в котором $\alpha=\arcsin\frac{a}{b}\tg\beta,$
где $\beta-$ угол точки на гиперболе,
$\alpha-$ соответствующий угол точки на окружности.
Этот интеграл не решается через элементарные функции и трудно установить закономерность разложения в ряд Маклорена его подынтегральной функции $y=\frac{\sqrt{a^2\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}.$

[AKM]

Vadim Shlovikov в сообщении #317939 писал(а):

Отсюда интеграл длины дуги гиперболы будет равен:
$L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}|\sqrt{a^2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2+b^2\frac{1}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2}|=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{a^2\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}d\alpha,$

Всем, слегка знающим диффгеометрию, известно, что интеграл длины дуги параметрической кривой $[x(\alpha),\,y(\alpha)],\quad 0\le \alpha\le A$ (при интегрировании по её параметру $\alpha$), равен

$$\int\limits_{0}^{A}d\alpha\left[\int\limits_0^\alpha\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\right].$$

[мат-ламер]

Последнюю формулу пытался проверить для круга и что-то не догоняю - переменная интегрирования совпадает с верхним пределом.

-- Чт май 13, 2010 21:09:48 --

Так, появилась тема для дискуссии. Мне кажется, что параметризовать гиперболу проще через гиперболические функции.

-- Чт май 13, 2010 21:11:41 --

Длина дуги вероятно выражается через эллиптические интегралы, но я не проверял.

[paha]

AKM в сообщении #318745 писал(а):

Всем, слегка знающим диффгеометрию, известно

перекреститься всем, слегка знающим ДГ

-- Чт май 13, 2010 20:19:44 --

Vadim Shlovikov в сообщении #317939 писал(а):

Этот интеграл не решается через элементарные функции

не выражается... Да, он такой, невыразимый:^)

[Vadim Shlovikov]

AKM в сообщении #318745 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #317939 писал(а):

Отсюда интеграл длины дуги гиперболы будет равен:
$L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}|\sqrt{a^2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2+b^2\frac{1}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2}|=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{a^2\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}d\alpha,$

Всем, слегка знающим диффгеометрию, известно, что интеграл длины дуги параметрической кривой $[x(\alpha),\,y(\alpha)],\quad 0\le \alpha\le A$ (при интегрировании по её параметру $\alpha$), равен

$$\int\limits_{0}^{A}d\alpha\left[\int\limits_0^\alpha\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\right].$$

Да, запись $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ не совсем правильная, так как ни переменная $x,$ ни переменная $y$ не равны переменной $\alpha.$

[AKM]

мат-ламер в сообщении #319035 писал(а):

Последнюю формулу пытался проверить для круга и что-то не догоняю - переменная интегрирования совпадает с верхним пределом.

Ну, я позволил себе эту неточность, потому что в подынтегральном выражении $\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ переменная интегрирования как бы явно не фигурирует, и может быть выписана грамотно. Типа Hack attempt!Так что для окружности $[x(\alpha)=R\cos\alpha, y(\alpha)=R\sin\alpha)]$ получаем вполне корректное $L(\alpha)=R\alpha$.

Так что, может снимете, мат-ламер, свой упрёк? Хотя бы частично.

Что касается дальнейшего --- интегрирования длины дуги, как заявлено у автора ---

Vadim Shlovikov в сообщении #317939 писал(а):

2. Интеграл длины дуги гиперболы, выраженный...

(то бишь $\int_{\ldots}^{\ldots}L(\alpha)d\alpha$), то далее мне его анализировать неохота, по причине бестолковости этой величины. Бестолковость характерна для многих (всех?) постов автора темы, и я не знаю, где здесь надо креститься:

paha в сообщении #319038 писал(а):

перекреститься всем, слегка знающим ДГ

По-прежнему считаю, что бестолковый и никому не нужный интеграл длины дуги я выписал почти правильно.

-- Пт май 14, 2010 00:26:05 --

А то, что длина дуги эллипса/гиперболы не выражается via элементарные функции, --- факт вроде бы общеизвестный. По-моему, даже вшивая парабола не предоставляет исключения. Только случай $\text{ексцентриситет}=0$.

[paha]

AKM в сообщении #319097 писал(а):

По-моему, даже вшивая парабола

конечно, длину дуги параболы можно вычислить в квадратурах

AKM в сообщении #319097 писал(а):

По-прежнему считаю, что бестолковый и никому не нужный интеграл длины дуги я выписал почти правильно

AKM в сообщении #318745 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{A}d\alpha\left[\int\limits_0^\alpha\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\right].$$

эта формула ничего общего не имеет с длиной дуги... подставьте $x(\alpha)=0$, $y(\alpha)=L\alpha$. Получите длину отрезка $LA^2/2$ вместо $LA$.

смысл записи

Vadim Shlovikov в сообщении #319053 писал(а):

$L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

в том, что это теорема Пифагора: $(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$

[AKM]

paha в сообщении #319114 писал(а):

эта формула ничего общего не имеет с длиной дуги...

Но автор не обсуждает длину дуги. Он говорит об и н т е г р а л е длины дуги. Снова цитировать не хочу.

-- Пт май 14, 2010 01:23:25 --

paha в сообщении #319114 писал(а):

конечно, длину дуги параболы можно вычислить в квадратурах

Да, убедился.

[paha]

AKM в сообщении #319118 писал(а):

Но автор не обсуждает длину дуги. Он говорит об и н т е г р а л е длины дуги.

Ну, Вы же разумный человек))) "Интеграл Пуассона" не означает эксгумирования с последующим надругательством

Давайте по-английски... автор имел ввиду path length integral, а не integral of the path length

[AKM]

(Оффтоп)

Я от этого отсею весьма лестное для меня признание моей разумности, даже не задумываясь о том, откуда оно почерпнуто.

[Vadim Shlovikov]

Vadim Shlovikov в сообщении #319053 писал(а):

AKM в сообщении #318745 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #317939 писал(а):

Отсюда интеграл длины дуги гиперболы будет равен:
$L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}|\sqrt{a^2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2+b^2\frac{1}{\cos^4\alpha}(d\alpha)^2}|=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{a^2\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}d\alpha,$

Всем, слегка знающим диффгеометрию, известно, что интеграл длины дуги параметрической кривой $[x(\alpha),\,y(\alpha)],\quad 0\le \alpha\le A$ (при интегрировании по её параметру $\alpha$), равен

$$\int\limits_{0}^{A}d\alpha\left[\int\limits_0^\alpha\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\right].$$

Да, запись $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ не совсем правильная, так как ни переменная $x,$ ни переменная $y$ не равны переменной $\alpha.$

Небольшая поправка:
В записи $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ неправильно указана переменная интегрирования, так как ни переменная $x,$ ни переменная $y$ не равны переменной $\alpha.$

[paha]

(Оффтоп)

Vadim Shlovikov в сообщении #319773 писал(а):

Небольшая поправка:
В записи $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ неправильно указана переменная интегрирования, так как ни переменная $x,$ ни переменная $y$ не равны переменной $\alpha.$

Vadim Shlovikov
Вы прикидываетесь, или правда не понимаете?

[AD]

(Оффтоп)

Что-то мне подсказывает, что он серьёзно.

[Vadim Shlovikov]

Подведём итоги:
1. Для уравнения гиперболы $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. $
1) Из рассмотрения тригонометрической формулы $\frac{1}{\cos^2\alpha}-\tg^2\alpha=1$
получаем параметрическую формулу гиперболы $\begin{cases}x=a\frac{1}{\cos\alpha}\\y=b\cdot\tg\alpha.\end{cases}$
2) Интеграл длины дуги гиперболы равен $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}d\alpha,$
в котором $\alpha=\arcsin(\frac{a}{b}\tg\beta),$
где $\begin{cases}\beta\in[0;\frac{\pi}{2}];\\\alpha\in[0;\frac{\pi}{2}];\end{cases}$
$\beta-$ значение угла точки на гиперболе;
$\alpha-$ значение соответствующего угла точки на окружности;
Этот интеграл не решается через элементарные функции и трудно установить закономерность разложения в ряд Тэйлора его подынтегральной функции $f=\frac{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2}}{\cos^2\alpha}.$
Остаётся использовать методы приближённого интегрирования.
2. Для уравнения гиперболы $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1.$
1) Из рассмотрения тригонометрической формулы $\frac{1}{\cos^2\alpha}-\tg^2\alpha=1$
получаем параметрическую формулу гиперболы $\begin{cases}x=a\cdot\tg\alpha\\y=b\frac{1}{\cos\alpha}.\end{cases}$
2) Интеграл длины дуги гиперболы равен $L=\int_{\alpha_0}^{\alpha_1}\frac{\sqrt{b^2\cdot\sin^2\alpha+a^2}}{\cos^2\alpha}\,d\alpha,$
в котором $\alpha=\arcsin(\frac{b}{a}\frac{1}{\tg\beta}),$
где $\begin{cases}\beta\in[0;\frac{\pi}{2}];\\\alpha\in[0;\frac{\pi}{2}];\end{cases}$
$\beta-$ значение угла точки на гиперболе;
$\alpha-$ значение соответствующего угла точки на окружности.
Этот интеграл не решается через элементарные функции и трудно установить закономерность разложения в ряд Тэйлора его подынтегральной функции $f=\frac{\sqrt{b^2\cdot\sin^2\alpha+a^2}}{\cos^2\alpha}.$
Остаётся использовать методы приближённого интегрирования.

[PAV]

Тема переносится в карантин, поскольку мне совершенно непонятно, что по сути нового или дискуссионного хочет донести до собеседников или обсудить автор.