Кольцо, не содержащее собственные односторонние идеалы

[ellipse]

Верно ли, что кольцо, не содержащее собственные односторонние идеалы, является телом? Если да, то как доказать наличие единицы? Дальше я и сам смогу.

[Xaositect]

поскольку для любого $a\neq 0$ идеал, порождаемый им, совпадает во всем кольцом, для любых $a\neq 0$ и $b$ существует $x$ такое, что $ax=b$ ($xa = b$).
Дальше надо доказать, что для любого $a$ из уравнения $ax = a$ получается один и тот же $x$. Для этого надо заметить, что домножив $ax = a$ слева на подходящий элемент, получим $bx = b$.

[ellipse]

Xaositect в сообщении #315145 писал(а):

поскольку для любого $a\neq 0$ идеал, порождаемый им, совпадает во всем кольцом

Как это доказать использую только то, что умножение в кольце ненулевое? Из этого условия можно доказать, что найдется хотя бы одно $a \in K$ такое, что идеал $aK=K$. А дальше как?

[Xaositect]

ellipse в сообщении #315255 писал(а):

Как это доказать использую только то, что умножение в кольце ненулевое?

Нет собственных идеалов => есть ровно 2 идеала, все кольцо и {0} => идеал, порождаемый ненулевым элементом, совпадает со всем кольцом.

[ellipse]

Пусть $a\neq0$, $aK=K$, но вдруг при этом $Ka=\{0\}$ и домножить равенство $ax=a$ слева так, чтобы получить $bx=b$ не получится.

[Xaositect]

$aK = K$, $Ka = \{0\}$ => $KK = KaK = \{0\}$