вычислить интеграл

[daogiauvang]

Вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{1} f(x) dx$, где $f(x)= \underset{y \in [0,1]}{min} max \left \{ 4x-y,y \right \}$

[ewert]

Рассмотрите функцию

$$g_x(y)=\left\{\begin{array}{lll}y&&(y\geqslant4x-y\ \Leftrightarrow\ y\geqslant2x); \\ 4x-y&&(y\leqslant2x).\end{array}\right.$$

Её минимум достигается в точке $y=2x$, но -- лишь при $2x\leqslant1$; а иначе -- в точке $y=1$. Отсюда получите явный вид подинтегральной функции.

[daogiauvang]

какая явный вид? а иначе -- в точке $y=1$. Отсюда получите явный вид подинтегральной функции. я этого не понял?

[mitia87]

При $y \geq 2x f(x) \text{не определена на всем отрезке интегрирования}$

[ewert]

daogiauvang в сообщении #314683 писал(а):

какая явный вид? а иначе -- в точке $y=1$. Отсюда получите явный вид подинтегральной функции. я этого не понял?

$\min\limits_yg_x(y)=g_x(2x)$ при $2x\leqslant1$ и $\min\limits_yg_x(y)=g_x(1)$ при $2x>1$.