Теория вероятности

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить следующие задачи
Задача 1

Цитата:

Два стрелка, которые имеют вероятность попасть в цель $0.58$ и $0.68$, независимо один от другого, стреляют в цел до перового попадания.
Какая вероятность, что первому стрелку понадобится больше выстрелов нежели второму?

Задача 2

Цитата:

В урне есть $20$ белых и $3$ чёрных шара. Два игрока по очереди вытаскивают по одному шару и возвращают его обратно. Выигрывает тот кто первый вытаскивает белый шар.
Какая вероятность, что игру выиграет тот кто начал игру?

Задача 3

Цитата:

Вероятность сделать бракованную деталь $0.05$. Вероятность того, что контроль распознает брак $0.71$.
Какая вероятность, что среди $5$ проверяемых деталей будут найдены не меньше двух бракованных?

Попытки решений:

Решение к первой
Пробую решить по следующему принципу
$A_1=0.58$, $\overline{A_1}=0.42$
$A_2=0.68$, $\overline{A_1}=0.32$
Тогда незнаю как можно (если я на правильном пути) применить формулу арифметической прогрессии.

Решение к третей
Допустим
$a = 0.05$
$b = 0.71$
тогда решением будет
$1-((a*(1-b))*(a*b)^4)$
но в нём очень сильно сомневаюсь.

[Ales]

Задачки хорошие и не простые.
То, что Вы написали - не решение, и даже не попытка.

[PAV]

Дам подсказку по первой задаче: обозначьте через $p$ вероятность искомого события и составьте уравнение на эту величину, используя соображение, что для этого события нужно чтобы либо первый попал сразу, либо чтобы они оба промахнулись, причем после этого эксперимент проходит как бы заново, при тех же условиях, и вероятность такая же.

[nbyte]

PAV в сообщении #309991 писал(а):

для этого события нужно чтобы либо первый попал сразу, либо чтобы они оба промахнулись

тогда
$(0.58*(1-0.68))+((1-0.58)*(1-0.68))$
А как дальше не знаю (может нужно применить арифметическую вероятность?)

Мне тут ещё не понятно, почему не

Цитата:

события нужно чтобы либо первый не попал сразу, либо чтобы они оба промахнулись

Так как нам нужно найти

Цитата:

что первому стрелку понадобится больше выстрелов нежели второму

-- Сб апр 24, 2010 17:43:12 --

Решение к третей задаче
По формуле биномиального распределения получаю вероятность вытащить 1 и 0 бракованных деталей

$$\[\begin{align} & {{P}_{0}}={{(1-0.05)}^{5}}=0.7737809375 \\ & {{P}_{1}}=5*{{0.05}^{1}}*{{(1-0.05)}^{4}}=0.2036265625 \\ \end{align}\]$$

Тогда вероятностью вытащить не менее трёх деталей будет
$\[{{P}_{\ge 2}}=1-\text{0}\text{.9774075 = 0}\text{.0225925}\]$
и учитываю что распознать удастся $0.71$
тогда ответом будет
$\[\text{0}\text{.0225925}*0.71=\text{0}\text{.016040675}\]$

[nbyte]

Вторая задача похожа на первую, поэтому хоте-бы узнать как первую правильно решить?

[lel0lel]

nbyte в сообщении #309966 писал(а):

Какая вероятность, что первому стрелку понадобится больше выстрелов нежели второму?

Эта вероятность складывается из вероятности таких исходов: в первый залп первый промахнулся, второй попал, иначе - оба первый залп в молоко, что приводит эксперимент к исходной точке, т.е. вероятность второму попасть первее равна вероятности которую мы ищем. Вот запишите самостоятельно это рассуждение в виде формулы, обозначив за $p$ искомую вероятность.
Объяснил как сумел, вроде понятно.

[nbyte]

lel0lel в сообщении #312915 писал(а):

Вот запишите самостоятельно это рассуждение в виде формулы, обозначив за $p$ искомую вероятность.

Проверьте, вродебы так
p = ((первый не попал)и(второй попал))
$p=(1-0.58)*(0.68)$

А как понять точно

Цитата:

приводит эксперимент к исходной точке

то-есть как-бы все начинается заново и решение поэтому будет p (если правильно посчитал)?

[lel0lel]

Вот так: $p=(1-0.58)*(0.68)+(1-0.68)(1-0.58)p$. Извините, щас не могу объяснять, спешу.

[nbyte]

Спасибо Вам за помощь, вроде-бы теперь ситуация прояснилась.

Тогда проверьте пожалуйста кто-нибудь ещё вторую, я думаю она связанна по принципу решения
Решение ко второй
Пусть вероятность выбрать белый шар $20/23$ и вероятность для обоих одинакова.
Тогда вероятностью выбрать белый шар "некому" игроку будет $(1-20/23)*(20/23)+(20/23)^2$
Далее так как вероятность выбрать этого "некого" игрока у нас $1/2$, то решением будет
$((1-20/23)*(20/23)+(20/23)^2)*(1/2)$

И
решение к третей задаче
По формуле биномиального распределения получаю вероятность вытащить 1 и 0 бракованных деталей

$$\[\begin{align} & {{P}_{0}}={{(1-0.05)}^{5}}=0.7737809375 \\ & {{P}_{1}}=5*{{0.05}^{1}}*{{(1-0.05)}^{4}}=0.2036265625 \\ \end{align}\]$$

Тогда вероятностью вытащить не менее трёх деталей будет
$\[{{P}_{\ge 2}}=1-\text{0}\text{.9774075 = 0}\text{.0225925}\]$
и учитываю что распознать удастся $0.71$
тогда ответом будет
$\[\text{0}\text{.0225925}*0.71=\text{0}\text{.016040675}\]$

[lel0lel]

Во второй задаче нужно найти вероятность того, что победит тот, кто начинает первый тянуть шар. Эта вероятность есть сумма вероятностей того, что первый игрок сразу в первом коне вытянет белый шар, тем самым даже не дав сыграть второму и вероятностей всех других возможных выигрышей первого игрока, но они возможны лишь в том случае, если в первом коне у обоих игроков были чёрные шары. Вероятность "этих всех других возможностей" равна, в свою очередь, искомой вероятности, поскольку после неудачного первого кона, игра фактически начинается заново.

nbyte в сообщении #312949 писал(а):

Далее так как вероятность выбрать этого "некого" игрока у нас $1/2$

не нужно выбирать "некого" игрока.

В третьей задаче нужно точнее разобраться - какова вероятность найти бракованную деталь эксперту, она равна вероятности того, что эту деталь выпустили бракованную и эксперт распознал этот брак, именно эту вероятность нужно подставлять в биномиальное распределение.

[nbyte]

Тогда со второй у меня получается тогда так
Искомая вероятность = (тот кто начал игру выбирает первым и вытаскивает белый шар) или (тот кто начал игру выбирает черный и тот кто начал вторым выбирает черный)
$p = (20/23)+(3/23)*(3/23)$

[lel0lel]

nbyte в сообщении #313068 писал(а):

(тот кто начал игру выбирает черный и тот кто начал вторым выбирает черный)

Да, но при этом же это событие ещё не завершено. Оно завершитсятся, когда первый игрок вытащит белый шар. Эта задача почти полный аналог первой. Тут снова нужно составить уравнение.

[nbyte]

lel0lel в сообщении #313005 писал(а):

В третьей задаче нужно точнее разобраться - какова вероятность найти бракованную деталь эксперту, она равна вероятности того, что эту деталь выпустили бракованную и эксперт распознал этот брак, именно эту вероятность нужно подставлять в биномиальное распределение.

Тоесть если я правильно понял то я нахожу сначала
p - вероятность того что вытянем и распознаем

$$\[\begin{align} & p=0.05*0.71=0.0355 \\ & {{P}_{0}}={{(1-0.0355)}^{5}}=0.8346629960 \\ & {{P}_{1}}={{(1-0.0355)}^{4}}*5*0.0355=0.1536056836 \\ & {{P}_{\ge 2}}=1-0.8346629960-0.1536056836=0.0117313204 \\ \end{align}\]$$

-- Вс апр 25, 2010 12:47:56 --

lel0lel в сообщении #312944 писал(а):

Вот так: $p=(1-0.58)*(0.68)+(1-0.68)(1-0.58)p$.

Я наверно вот неправильно понял.
Вы в конце $p$, Вы не по ошибке написали?

Если так, тогда думаю чтобы найти p, нужно воспользоваться
$\[S=\frac{{{b}_{1}}}{1-q}\]$
Или я уже запутался просто?

[lel0lel]

Да, правильно. Только если оформлять, то лучше так: p - вероятность того что вытянем брак и распознаем.

-- Вс апр 25, 2010 12:54:29 --

Нет, формула правильная. А в чём у Вас возникают проблемы? Это обычное линейное уравнение. Его в пятом классе умеют решать.
$p=(1-0.58)*(0.68)+(1-0.68)(1-0.58)p$. Второе слагаемое здесь как раз и есть вероятность того, что первый игрок промазал и второй игрок промазал и всё же, в итоге, первый победил.

[nbyte]

lel0lel в сообщении #313079 писал(а):

А в чём у Вас возникают проблемы?

то что $p$ есть сама формула и на неё умножаем в конце формулы.
Тоесть если рекурсия?

-- Вс апр 25, 2010 13:24:23 --

Я наверно просто запутался.
Мне точно непонятно, правильно-ли я понял решение первой задачи.