решение диффуравнения II порядка

[fillinn]

помогите разобраться с таким вот уравнением:$y''-2y'+5y=e^x\cos2x$; у(0)=1, y'(0)=1
корни характерестического уравнения нашел: $k=1\pm2i$
далее получается что общее решение имеет вид:$u= e^x(C_1\cos 2х + C_2\sin 2х)$ ? или не так?

[mitia87]

Общее однородное почти правильно:
$e^x (C_1 \cos{2x} +C_2\sin{2x})$

А это у Вас формула не совсем верно написана

[fillinn]

не доглядел маленько , но именно это и имелось ввиду. просто дальше частное решение будет иметь вид:$y_1=e^x(A\cos2x+B\cos2x)$
могу я в это уравнение подставить даннные $y(0)=1$, тогда получается что $A=1$

-- Чт апр 22, 2010 14:08:04 --

а из уравнения $y'_1=e^x(A\cos2x+B\sin2x)+2e^x(-A\sin2x+B\cos2x)$ получается что $B=0$

[ИСН]

А неоднородный хвост что, побоку?

[ewert]

fillinn в сообщении #312063 писал(а):

не доглядел маленько , но именно это и имелось ввиду. просто дальше частное решение будет иметь вид:$y_1=e^x(A\cos2x+B\cos2x)$

Не будет -- это ведь решение однородного. Т.е. у Вас резонанс.

[fillinn]

просто у меня там все сокращается и естественно я не могу найти ни А ни В

[ИСН]

Так Вам и надо.
Предыдущие несколько сообщений читать будем?

[fillinn]

тоесть $y_1=e^x(A\cos x+B\sin x)$ так что ли получается ? без двойки?
неужели $y_1=e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)(C\cos x+D\sin x)$??????????

[maxmatem]

найдите частное решение неоднородного, с помощью метода вариаций!(он всегда помогает!)

[fillinn]

нормально можете объяснить ! а то у меня уже голова кругом идет !!!

[ИСН]

Откройте источник, из которого почерпнули предыдущие знания. Поиском по тексту найдите слово "резонанс".

[fillinn]

С возростанием времени / амплитуда колебаний А^ неограниченно
возрастает. Этот случай, когда частота внешней
силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, называется
резонансом.

[ИСН]

А общий вид резонансного решения там где-то рядом есть? Или мне придётся писать его тут?

[fillinn]

ничего подобного нету

[ИСН]

Эх. Ладно. Писать лень, поэтому словами: эффект от него такой же, как если бы корень хар.уравнения вдруг стал второго порядка.