Полнота пространства A(D)

[VTV]

Пусть $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1 \}$, $A(\mathbb{D})$ --- пространство непрер. на $\overline{\mathbb{D}}$ и аналитич. на $\mathbb{D}$ функций из нормой $\|f\|=\sup_{z\in\mathbb{D}}|f(z)|$. Как доказать полноту?

[AD]

А с чего бы ему быть полным? Даже многочленами можно равномерно любую непрерывную функцию приблизить.

[Полосин]

По-моему, можно воспользоваться интегральной формулой Коши. AD, в круге это не проходит.

[AD]

Н-да, действительно. Как это я прозевал!

[RIP]

А разве проблема в круге? Проблема в том, что многочлены от $x,y$, а не от $z$, то есть не аналитичны, вообще говоря.

[Полосин]

Разумеется. Я написал "в круге" для краткости.

"Кто на ком стоял? Потрудитесь выражать ваши мысли яснее."

[AKM]

Господа дискуссионеры!

Вы, видимо, не вняли теме сообщения: "Полнота пространства A(D)".
Кто как не AD лучше всех разбирается в свойствах пространства A(D)?

(Объяснительная записка)

Ну очень не хотелось, чтобы моё 1000-е сообщение было об отправке кого-то в Карантин!

[AD]

(Re: оффтоп)

Не, я больше по элементарной геометрии. Там всё время какой-нибудь BC то параллелен AD, то перпендикулярен ...
(причём это правда с обеих сторон изоморфизма)

[Padawan]

VTV в сообщении #310554 писал(а):

Пусть $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1 \}$, $A(\mathbb{D})$ --- пространство непрер. на $\overline{\mathbb{D}}$ и аналитич. на $\mathbb{D}$ функций из нормой $\|f\|=\sup_{z\in\mathbb{D}}|f(z)|$. Как доказать полноту?

Что тут доказывать?
Фундаментальность по этой норме равносильна равномерной сходимости в $D$, а значит, по непрерывности, и в $\overline D$. Предельная функция будет непрерывной в $\overline D$ (как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных в $\overline D$ функций) и аналитической в $D$ (как предел равномерно сходящейся последовательности аналитических в $D$ функций).