Замкнутость множества

[kkar]

Почему множество $K$ замкнуто? $K$ - совокупность измеримых функций $\varphi$ на \Omega таких что $0\leqslant\varphi\leqslant1$ и $\int \varphi d\mu\geqslant1-\alpha, 0<\alpha<1/2$.
Рассматриваю последовательность из $K$, но что то никак не пойму, почеиу же ее предел тоже оттуда.

[ewert]

kkar в сообщении #309574 писал(а):

, но что то никак не пойму

Я тоже чего-то не пойму. В какой топологии замкнуто-то?...

[kkar]

В топологии $\sigma(L^\infty, L^1)$.

[AGu]

Задачу можно упростить, заметив, что $K=\bigcap_\alpha K_\alpha$, где $K_\alpha=\{\varphi:0\leqslant\varphi\leqslant1,\ \int\varphi\,d\mu\geqslant1-\alpha\}$.

[AGu]

kkar в сообщении #309574 писал(а):

Рассматриваю последовательность из $K$

Кстати, предостерегаю от попыток доказывать слабую замкнутость рассмотрением последовательностей. Слабая топология, вообще говоря, не определяется сходимостью последовательностей. Например, сфера $\{x\in\ell^1:\|x\|=1\}$ замкнута относительно слабой сходимости последовательностей, но она не являтся замкнутой в слабой топологии $\sigma(\ell^1,\ell^\infty)$.