вычислить несобственный интеграл численным методом

[azatsh]

Нужно взять интеграл от ф-ии ((t+1)/(t-1))^a на отрезке [-1,1]; 0 < a <= 0.5
Я прочитал как надо решать интегралы с особенностями вот здесь intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/7/6.html. Но мне кое что не понятно. Когда я буду подбирать сигма1 и сигма2 (а в моем случае скорее всего будет только одна сигма) при помощи оценки интеграла, то сам интеграл буду считать чис. методом. Но там ведь тоже нужно указать точность. Какую? eps/2 ?

azatsh,
ознакомьтесь с правилами набора формул.
Тема как бы не успела попасть в карантин, но...

[Alexey1]

В Вашем случае $\int_{-1}^{1} \Big(\frac{t+1}{t-1}\Big)^adt=\int_{-1}^{\delta} \Big(\frac{t+1}{t-1}\Big)^adt+\int_{\delta}^{1} \Big(\frac{t+1}{t-1}\Big)^adt$. Затем подбираете $\delta$ и вычисляете первый интеграл с точностью не превышающей $\frac{\epsilon}{2}$ и второй интеграл по абсолютной величине тоже не должен превышать $\frac{\epsilon}{2}$. В результате ошибка не превысит $\epsilon$. Наведите мышкой на формулы, чтобы посмотреть как их правильно набирать.

[bot]

Странный интеграл - на интервале интегрирования основание степени отрицательно.
А если знак основания изменить, то особенность будет не в нуле, а в 1.

[Alexey1]

bot в сообщении #308384 писал(а):

Странный интеграл - на интервале интегрирования основание степени отрицательно.
А если знак основания изменить, то особенность будет не в нуле, а в 1.

А там же особенность в 1. Откуда ноль?

[azatsh]

Alexey, это разбиение ничего не дает. Второй интеграл снова имеет особенность в точке 1! Я могу вычислять следующим образом:
считаю интеграл на [-1,1-сигма];
сигма = сигма * 0.5
снова считаю интеграл;
смотрю разность этих двух интегралов. она должна быть меньше eps (по модулю)
если нет, то снова сигма = сигма * 0.5

Но вот мой вопрос так никто и не понял.. Когда я буду вычислять текущий интеграл, то какую точность указывать для метода (например симпсона)?

[ewert]

azatsh в сообщении #308424 писал(а):

Alexey, это разбиение ничего не дает. Второй интеграл снова имеет особенность в точке 1!

Зато он маленький. Просто грубо оцените числитель корнем из двух; то, что останется -- считается явно.

Правда, этот способ весьма неэффективен (неблагоприятны условия численного нахождения первого интеграла -- слишком много шагов понадобится при равномерной сетке).

azatsh в сообщении #308424 писал(а):

Когда я буду вычислять текущий интеграл, то какую точность указывать для метода (например симпсона)?

Но Вы же сами привели ссылку, в которой на этот Ваш вопрос (впрочем, как и на предыдущий) вполне чётко отвечается. Подберите границу разбиения так, чтобы второй интеграл был меньше эпсилона пополам, а потом считайте первый численно с точностью тоже эпсилон пополам.

[azatsh]

Опять вопрос не понят).

Цитата:

Подберите границу разбиения так, чтобы второй интеграл был меньше эпсилона пополам

Это я знаю. Когда я буду считать этот второй интеграл я же не могу его ЯВНО посчитать, а буду считать методом симпсона. Так вот мой Вопрос: какую точность указать для этого метода?
То что грубо оценить корнем из двух чтобы посчитать интеграл явно это конешно интересно, но всегда ли это можно так делать и как это влияет на результат. В теории ничего не указано

-- Вс апр 11, 2010 14:00:24 --

Точнее второй интеграл я вобще не могу вычислить чис методом, а только явным, но замена числителя на корень из двух что то меня пугает

[ewert]

azatsh в сообщении #308434 писал(а):

То что грубо оценить корнем из двух чтобы посчитать интеграл явно это конешно интересно, но всегда ли это можно так делать и как это влияет на результат. В теории ничего не указано

В теории, которую Вы процитировали, на этот счёт указано вполне определённо. Мы не считаем второй интеграл, мы его оцениваем сверху более простым. И требуем, чтобы эта оценка была меньше, чем половина допустимой погрешности. Каковое требование и даёт нам нижний предел интегрирования.

[Padawan]

azatsh
Сделайте замену $(1-t)^{1-a}=s$ и Ваш интеграл превратится в собственный. Его численно и считайте.

[ewert]

Padawan в сообщении #308442 писал(а):

Сделайте замену и Ваш интеграл превратится в собственный.

Это уже другой способ. Причём чреватый, если функция после замены окажется негладкой (с этим придётся специально и дополнительно бороться).

[Padawan]

А понял, это упражнение такое -- именно несобственный численно посчитать. Извиняюсь тогда.

-- Вс апр 11, 2010 13:31:43 --

Ну да, негладкой окажется - с того конца, где была бесконечность, появится степенная особенность.

[azatsh]

Неее. Это не упражнение). Это реально надо в программе считать такой интеграл и не важно как, лишь бы был ответ! Так как все таки лучше считать? Превратить в собственный??

[ewert]

На мой взгляд, оптимальный алгоритм такой.

Считаем для начала интеграл по промежутку $[-1;1-\delta]$, где $\delta={1\over2}$, скажем.

Потом добавляем к нему интеграл по $[1-\delta;1-{\delta\over2}]$.

Потом -- по $[1-{\delta\over2};1-{\delta\over2^2}]$.

Потом -- по $[1-{\delta\over2^2};1-{\delta\over2^3}]$, и т.д.

Контролируя добавки по правилу Рунге. Т.е. до тех пор, пока добавка превышает требуемую точность -- до тех пор и считаем.

Прелесть подхода в том, что на каждом шаге условия применения квадратурной формулы благоприятны. В том смысле, что относительные перепады самой подынтегральной функции (а также максимумы всех мыслимых производных) ведут себя регулярно. В типичных ситуациях. Поэтому и требуемое к-во шагов численного интегрирования на каждом внешнем шаге -- одного порядка.

Правда. Мы заранее не знаем, сколько таких (внешних) шагов придётся сделать. Ну что ж. Сперва грубо оценим необходимое к-во шагов (вычисляя интеграл на каждом шаге с относительной точностью, ну допустим, $10^{-3}$). Пусть потребуется $N$ таких шагов. А потом пересчитываем всё заново, вычисляя численно интеграл на каждом шаге с точностью ${1\over 2N}\varepsilon$ и до тех пор, пока оценка правилом Рунге не даст результат не хуже, чем ${\varepsilon\over2}$.

Где-то типа так.

Накладные расходы на предварительную прикидку -- будут малы по сравнению со временем уточняющего счёта.

[Padawan]

интеграл равен $\dfrac {2\pi a}{\sin (\pi a)}$ -- через эйлеровы интегралы посчитал.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #308521 писал(а):

-- через эйлеровы интегралы посчитал.

-- это истчо раз неспортивно