Два предела

[Nikita_b]

Собственно правильно ли сделано:

$\lim\limits_{x \to 0} {\frac {\sin bx - \sin ax} {\ln (\tg (\frac {\pi} {4} + ax))}}$
Разбиваем:
$\lim\limits_{x \to 0} {\frac {\sin bx} {\ln (\tg (\frac {\pi} {4} + ax))}} - $\lim\limits_{x \to 0} {\frac {\sin ax} {\ln (\tg (\frac {\pi} {4} + ax))}} $
Далее, т.к $x \to 0$, то:
$\lim\limits_{x \to 0} {\frac {bx} {\ln (1 + ax))}} - $\lim\limits_{x \to 0} {\frac {ax} {\ln (1 + ax))}} = \frac {b}{a} - 1$

И второй:
$\lim\limits_{x \to \pi} {( \ctg \frac {x} {4})^\frac {1}{\cos \frac {x} {2}}$
Прологарифмируем:
$\ln A = \frac {1}{\cos \frac {x} {2}} \ln(\ctg \frac {x} {4}) $
Предел:
$\lim\limits_{x \to \pi} \ln A = \lim\limits_{x \to \pi} \frac {\ln(\ctg \frac {x} {4})}{\cos \frac {x} {2}} $
По Лопиталю, берем производные от числителя и знаменателя:
$\lim\limits_{x \to \pi} \frac {\frac {1} {\ctg \frac{x} {4}} * \frac {1} {\sin ^2 \frac{x} {4} } * \frac {x} {4}}{\sin \frac {x} {2} * \frac{x}{2} }$
Но собственно неопределенность остается и ничего не сокращается. Если дальше брать производные, то ситуация не улучшится, что делать?
В задачнике указано, что предел решается по Лопиталю за 1-2 преобразования.

[Alexey1]

Nikita_b в сообщении #302087 писал(а):

Далее, т.к $x \to 0$, то:
$\lim\limits_{x \to 0} {\frac {bx} {\ln (1 + ax))}} - $\lim\limits_{x \to 0} {\frac {ax} {\ln (1 + ax))}} = \frac {b}{a} - 1$

Нет не верно. Здесь также используйте правило Лопиталя.

Nikita_b в сообщении #302087 писал(а):

По Лопиталю, берем производные от числителя и знаменателя:
$\lim\limits_{x \to \pi} \frac {\frac {1} {\ctg \frac{x} {4}} * \frac {1} {\sin ^2 \frac{x} {4} } * \frac {x} {4}}{\sin \frac {x} {2} * \frac{x}{2} }$

Вы не правильно нашли производные.

[Nikita_b]

Цитата:

Нет не верно. Здесь также используйте правило Лопиталя.

Я понимаю, что здесь тоже можно по Лопиталю, но мне хочется сделать именно без него, т.к если с производными проблем особых нет, то приделы я решаю плохо. Но ок, я чуть позже поищу ошибку.

Цитата:

Вы не правильно нашли производные.

Угу.

$\lim\limits_{x \to \pi} \frac {\frac {1} {\ctg \frac{x} {4}} * -( \frac {1} {\sin ^2 \frac{x} {4} }) * \frac {1} {4}}{-\sin \frac {x} {2} * \frac{1}{2} }$
Упростим:
$\lim\limits_{x \to \pi} \frac {\frac {1} {\ctg \frac{x} {4}} * \frac {1} {\sin ^2 \frac{x} {4} } * \frac {1} {2}}{\sin \frac {x} {2}}$
Но собственно я все ровно не представляю, что делать с числителем...

[ewert]

Nikita_b в сообщении #302150 писал(а):

Я понимаю, что здесь тоже можно по Лопиталю, но мне хочется сделать именно без него,

Можно и без него, только через эквивалентность, запросто. Только пошто Вы тангенсы-то обидели?... Чему равен тангенс суммы?...

Nikita_b в сообщении #302150 писал(а):

Но собственно я все ровно не представляю, что делать с числителем...

Ничего не делать. Тупо подставлять пи.

[Nikita_b]

Цитата:

Ничего не делать. Тупо подставлять пи.

Т.е ответ будет единица?

Цитата:

Можно и без него, только через эквивалентность, запросто. Только пошто Вы тангенсы-то обидели?... Чему равен тангенс суммы?...

$\lim\limits_{x \to 0} {\frac {bx} {\ln (\frac {1+\tg ax} {1 -\tg ax})}} - \lim\limits_{x \to 0} {\frac {ax} {\ln (\frac {1+\tg ax} {1 -\tg ax})}} = \lim\limits_{x \to 0} {\frac {bx} {\ln (\frac {1+ax} {1 - ax})}} - \lim\limits_{x \to 0} {\frac {ax} {\ln (\frac {1+ax} {1 - ax})}} = b*\lim\limits_{x \to 0} {\frac {x} {\ln (1+ax) - \ln (1 - ax) }} - a*\lim\limits_{x \to 0} {\frac {x} { \ln (1+ax) - \ln (1 - ax)}} $
Хм, буду думать дальше. Спасибо за помощь.