ser писал(а):
Меня интересует, как это будет выглядеть при прецессии обычного волчка, т.е. детской игрушки юла, да еще когда его амплитуда колебаний при прецессии будет меняться.
Давайте раскрутим волчок и будем удерживать его ось неподвижной в наклонном положении. Естественно, ось вращения волчка совпадает с его осью (симметрии). Никакой прецессии также нет. Вектор момента импульса
(в силу симметрии) также параллелен обеим этим осям.
Отпустим ось. Если и дальше ось вращения будет совпадать с осью волчка, то ось волчка будет оставаться неподвижной, поскольку точки, расположенные на оси вращения, неподвижны. Никакой прецессии, естественно, не будет. Такая картина наблюдалась бы, если бы на волчок не действовали никакие силы.
Реально на волчок действует сила тяжести, приложенная в центре масс волчка, то есть, в некоторой точке на оси симметрии волчка, не совпадающей с точкой опоры (силами трения пренебрежём, считая их очень малыми). Эта сила создаёт вращающий момент, вектор
которого перпендикулярен плоскости, содержащей точку опоры и вектор силы, приложенный в центре масс (и, следовательно, содержащей ось симметрии волчка), и, следовательно, расположен горизонтально. Уравнение движения волчка можно записать в виде
, то есть, "скорость" изменения момента импульса волчка равна моменту действующей на него силы.
В тот момент, когда мы отпустили волчок, момент силы
перпендикулярен вектору момента импульса
, поэтому вектор
начнёт поворачиваться и не будет параллелен оси волчка. Вслед за вектором момента импульса сдвинется и ось вращения, и тоже перестанет совпадать с осью волчка (и, вообще говоря, не будет параллельна вектору
). Из-за этого ось симметрии начнёт поворачиваться вокруг оси вращения. Расположение обеих осей таково, что в начальной стадии движения ось симметрии движется вниз. Это выглядит как "падение" волчка.
Далее угол между осью вращения и осью симметрии увеличивается, и скорость движения оси симметрии тоже увеличивается. По мере поворота направление движения оси симметрии постепенно сменяется с вертикального на горизонтальное, и ось симметрии начинает догонять ось вращения. В какой-то момент обе оси оказываются в одной вертикальной плоскости (ось симметрии располагается ниже), и с этого момента ось симметрии начинает подниматься, находясь впереди оси вращения. Постепенно угол между осями уменьшается, ось вращения догоняет ось симметрии, и, когда ось симметрии поднимается на первоначальную высоту, обе оси снова совпадают, а вектор момента импульса снова им параллелен.
Таким образом, восстанавливается начальное положение волчка, с той разницей, что его ось повернулась вокруг вертикали на некоторый угол. Вот этот поворот оси симметрии и называют прецессией, а описанные выше колебания оси вниз-вверх - нутацией (но я
говорил уже, что термин "прецессия" может пониматься в несколько разных смыслах).
В зависимости от начальных условий движение оси симметрии может немного отличаться от описанного. Она может описывать траекторию, похожую на синусоиду, или кривую с петлями.
Из-за трения нутация обычно быстро затухает, и остаётся только прецессия. При этом ось вращения и ось симметрии волчка находятся в одной вертикальной плоскости, первая выше второй, а угол между ними зависит от угловой скорости вращения волчка и угловой скорости прецессии.
Может быть, Вам будет интересно посмотреть лекцию "
Закон сохранения момента импульса. Гироскопы."
ser писал(а):
Заглянул в учебник и на первой строчке уперся в такое определение “В современной технике под гироскопом понимают твердое симметричное тело, которое может вращаться вокруг оси симметрии с угловой скоростью, значительно превышающей скорость вращения самой оси симметрии”. Не знаю правильно ли я понял, что вращение оси симметрии у гироскопа будет только при прецессии (пусть даже в приближённой теории гироскопа, где эти оси, как пишет Someone считаются совпадающими) и как в таком случае быть с осями, если рассматривать гироскоп как тело вращающееся вокруг вертикальной оси Z и совершающее еще вращательные колебания относительно двух осей X и Y (особенно, если амплитуда этих колебаний изменяется, т.е. меняется момент инерции относительно вертикальной оси) и при этом центр масс, естественно, еще и движется вдоль этих осей X, Y и Z. По моему, в этом случае эти оси совпадают. Заодно интересно было бы узнать почему ось симметрии не совпадает с осью вращения в не приближенной теории, даже если нет прецессии.
Эту часть я плохо понял. Поэтому дополню сказанное выше, может быть, случайно отвечу на непонятые вопросы.
Если раскрутить свободное осесимметричное тело вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии, то его вектор момента импульса, ось вращения и ось симметрии, вообще говоря, не параллельны. Так как тело свободное, то есть, никакие силы на него не действуют, то вектор момента импульса остаётся неизменным (закон сохранения момента импульса). Тело движется при этом таким образом, что обе оси и вектор момента импульса всё время лежат в одной плоскости, углы между ними не изменяются, и обе оси вращаются вокруг вектора момента с постоянной угловой скоростью. Такое движение называется регулярной прецессией.
Гироскоп в кардановом подвесе аналогичен свободному осесимметричному телу, если энергии и моменты импульса деталей подвеса малы по сравнению с энергией и моментом импульса самого гироскопа. Его тоже можно раскрутить вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии, хотя технически это, может быть, чуть сложнее, при этом будут двигаться и детали подвеса (почему-то
Зиновий такую возможность считает настолько невероятной, что обозвал меня выдумщиком и фантазёром). Если можно пренебречь движением деталей подвеса, то гироскоп будет совершать такую же регулярную прецессию, как и свободное тело, но только в теории гироскопа это движение называется нутацией.
В приближённой теории гироскопа пренебрегают тем, что ось вращения может не совпадать с осью симметрии, и считают, что эти оси всё время совпадают, а вектор момента импульса параллелен этим осям. При этом получаются значения энергии и момента импульса гироскопа, отличающиеся от точных. Разницу между точными и приближёнными значениями можно назвать энергией и моментом импульса прецессии, и похоже, что это именно та энергия прецессии, которую придумал
Зиновий (однако то, что я прочёл в одной из его работ, противоречит такому предположению; было бы желательно, чтобы он сам объяснил, как он представляет себе прецессию и её энергию). Прецессия в приближённой теории рассматривается как дополнительное вращение вокруг оси прецессии.
Точная теория учитывает не только указанное несовпадение осей, но также движение деталей подвеса, которые, естественно, имеют свои энергии и моменты импульса. Суммарную энергию и суммарный момент импульса деталей подвеса можно было бы тоже называть энергией и моментом импульса прецессии, и, может быть, эта "энергия прецессии" подошла бы
Зиновию, если бы он сумел снабдить каждый электрон кардановым подвесом. Но я с точной теорией гироскопа не знаком.