Точное решение ду

[Yuriy240862]

Насколько актуальной на сегодня является задача построения точного решения для дифференциального уравнения 2-го порядка с произвольными непрерывными функциями в качестве коэффициентов?

[ewert]

Она никогда и не была особенно так актуальной, т.к. всё равно практически никогда не разрешима.

[Yuriy240862]

Спасибо за ответ.
Из Вашего ответа неактуальность следует из невозможности решить точно. Но тогда из возможности точного решения следует актуальность. Не понятно.
Многие приближенные методы возникли именно из-за невозможности построить точное решение ду. Ведь не решают же какие бы то ни было задачи приближенно, когда дело сводится например к ду с постоянными коэффициентами и можно выписать точное решение. А если предположить, что теперь точное решение можно выписать всегда для любого ду, так это уже не актуально? Снова не понятно, но может только мне.... .

[fer1800]

Раньше выпускался специальный справочник частных решений.

[Padawan]

Актуально построение точных решений актуальных уравнений

[Ales]

Абсолютно точно можно решить только в натуральных числах.
Например, ответ $\sqrt2$ уже не точное решение.
Поэтому любое практическое решение дифференциального уравнения приближенное.
Для приложений интересны алгоритмы, позволяющие вычислить решение с любой заданной точностью.
Для теории любые исследования в поиске интегралов могут оказаться полезными и интересными.
Но не все уравнения можно решить в квадратурах, и на этот счет есть теоремы.

[mitia87]

Именно ду-2 могут возникнуть при построении тестов для нестационарных задач. Однако при этом часто требуются достаточно специфичные граничные условия, что затрудняет построение точных решений. Поэтому чаще всего для таких задач используют численные методы высокой точности.

[terminator-II]

По-моему все проще. Очередной science freak решил осчастливить мир своим гениальным открытием. Сейчас нам сообщат метод интегрирования всех вообще уравнений.

[fer1800]

Ситуация с точными и численными решениями следующая:
Численные решения достаточно универсальны, но у них есть два недостатка:
1) Они практически не поддаются анализу
2)Из за того, что они слабо поддаются анализу, о характере результата, и вообще решение можно получить, только проведя решение полностью - что требует времени, иногда это слишком долго.

P.S.
Казалось бы 20 лет назад были весьма слабые компьютеры, а ещё раньше, когда-то их и вовсе не было. Однако и сейчас компьютеры не решают всё мгновенно. Я был свидетелем одного доклада - там на Тифлексе что-то нарисовали и вроде как смоделировали - моделировали сутки что ли, однако те же результаты и в ручную можно было получить и возможно за меньшее время.

[paha]

Если под "точным" решением понимать решение в квадратурах, то задача решена в том смысле, что "даже некоторые уравнения первого порядка в квадратурах не интегрируются... о втором порядке и говорить нечего".

Что автор темы подразумевает под "точностью" решения?

[fer1800]

Лично я подразумеваю выражение решения через интеграл и простейшие функции.

[Yuriy240862]

Точное решение=решение в замкнутой форме - это решение, выраженное посредством элементарных функций и функций, входящих в исходное уравнение с использованием арифметических операций и операций взятия неопределенного интеграла. Количество операций в общем случае может быть бесконечным (например, когда решение выражается сходящимся рядом). Когда количество операций конечно, такое точное решение называют решением в квадратурах.

[Руст]

Возьмите книжку: Уравнение Пенлеве (за точность названия не ручаюсь). Там рассматриваются дифуры с полиномиальными коэффициентами, какие интегрируются, какие нет и к каким можно свести. Какие принципиальные сложности в возможности интегрирования. Есть ссылки на монографии посвященные этим вопросам.
Тогда поймете, что говорить о точном решении многих принципиально неинтегрируемых уравнений просто бессмысленно.

[fer1800]

Справочник Зайцева.
Справочник Камке.
Интересный подход с использованием алгебры Ли. Не помню как книжка называется, но она есть на на этом ресурсе

[paha]

вот подумал и понял: вопрос абсолютно бессмысленный. Если Вы нашли новый метод интегрирования д.у. - изложите его суть... продемонстрируйте как он работает на примере уравнения, которого нет в справочнике Камке (например).
Актуальность - вопрос скорее политический нежели математический. Оставьте актуальность для автореферата диссертации, там даже пункт такой должен быть:^)

P.S. С помощью рядов д.у. решал еще Ньютон... и Эйлер, наверное