Количество корней.

[ewert]

Навеяло.

Пусть $N(r)$ -- количество корней уравнения $z=\sin z$ на комплексной плоскости, попадающих в круг $|z|<r$. Найти асимптотику $N(r)$ при $r\to\infty$.

[Полосин]

Асимптотика корней (ограничимся правой полуплоскостью) легко выписывается из соотношений $\cos x\sh y=y, \sin x\ch y=x$: $x_n=\pi n+\pi/2+...$, $y_n=\ln n+...$, так что искомая асимптотика выражается через функцию, обратную к $\sqrt{(\pi x)^2+\ln^2x}$.

[ewert]

Ну естественно (я, правда, не очень понял насчёт обратных). Естественно, что корни располагаются всё ближе и ближе к целочисленной решётке. Пафос в том, чтоб это а)угадать и b) формально обосновать.

(А там, кстати, есть и истчо один подвох. Надобно истчо д-ть, что "исчезающие" корни имеют типа "меру ноль".)

[Padawan]

Всё равно лучше, чем $N(r)=2r/\pi+O(1)$ не получить оценку. Я исходил из равенства $z_n=\pi n(1+\lambda_n)$, $\lambda_n\to 0$, $n\to\infty$, где $z_n$ - $n$-тый корень. Подставлял в равенство $z_n=\sin z_n$ и уточнял отсюда асимптотику $\lambda_n$.

Получается около каждого $\pi n$ - по корню. Все корни, начиная с некоторого номера лежат в секторах $-\delta<\arg z<\delta$ и $-\pi-\delta<\arg z<\pi+\delta$.

[ewert]

Ну только не эр, а эр-квадрат, естественно (за константой я не следил -- лень).

Следующий член асимптотики выискивать как-то грустно, да я и не просил (именно по этой причине).

Пафос задачки в том, чтоб формально доказать главный член (сразу же скажу, что мне лично -- это влом; однако ж любопытно, коль скоро очевидно).

[Полосин]

Это сразу вытекает из теоремы Руше и принципа аргумента.

[ewert]

да какие там аргументы и руше , коль скоро корни более-менее равномерно распределены по всей плоскости. Ни из каких рушей это не следует и следовать в принципе не может.

[Полосин]

Речь шла о главном члене асимптотики корней.

[Padawan]

ewert в сообщении #298819 писал(а):

Ну только не эр, а эр-квадрат, естественно (за константой я не следил -- лень).

ewert в сообщении #298849 писал(а):

да какие там аргументы и руше , коль скоро корни более-менее равномерно распределены по всей плоскости. Ни из каких рушей это не следует и следовать в принципе не может.

Почему $r^2$ - то? Корни расположены приблизительно вдоль действительной оси, и их примерно столько же, сколько корней у $\sin z=0$.

А вне секторов, которые я выше обозначил, корней конечное число, так как $\sin$ растет вне этих секторов экспоненциально.

Padawan в сообщении #298795 писал(а):

Все корни, начиная с некоторого номера лежат в секторах $-\delta<\arg z<\delta$ и $-\pi-\delta<\arg z<\pi+\delta$.