В.Арнольд о эллипсе или я не понимаю

[m_еugene]

С увлечением читал

Arnold_-_GeometriyaKompleksnyhChiselKvaternionovSpinov_-_2002_40_PDF.zip

Стр.33

Некоторые из эллипсов являются окружностями. На первый взгляд
кажется, что условие обращения эллипса в окружность – это одно соотношение
равенства полуосей a = b, так, что подмногообразие окружностей
должно иметь коразмерность один в многообразии всех эллипсов.
Это, однако, не так: многообразие квадратичных форм

$ Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 $

имеет размерность 3 (и координаты A, B, C), а многообразие окружностей
– размерность 1 ( так как окружность с центром в нуле определяется
своим радиусом).
Выделяющие окружности условие «дискриминант равен нулю» для
соответствующего квадратного уравнения, определяющего длины полуосей
эллипса, имеет вид
$ (A + C)^2 = 4(AC - B^2), $
т.е. сводится к сумме
двух квадратов,
$ (A-C)^2 + 4B^2 = 0, $
и определяет одномерное
подмногообразие в трёхмерном пространстве форм
(а именно, прямую A = C, B = 0).

И здесь мои квазиэллипсные глаза стали квадратными.

Я вспомнил своего школьного учителя на уроке:

Он вытащил бечёвку, связанную в кольцо, пригласил двух учеников к доске,

Приставил к доске указательный палец каждого ученика с накинутой бечёвкой,

Натянул бечёвку мелом и начертил такой ровный эллипс, что залюбуешься.

Изменил длину бечёвки, переставил указательные пальцы помощников наискось,

и вновь начертил не менее красивый эллипс набекрень.

Стало быть, для получения эллипса достаточно двух параметров –

1. расстояние между фокусами и

2. сумма расстояний от фокусов к точке.

Если что-то не понимаешь, надо спросить у кого-нибудь.

Я набрал в Яндексе «Кривая второго порядка» и после перебора ссылок выбрал такую:

'''Кривая второго порядка''' — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$ a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0, $

в котором по крайней мере один из коэффициентов

$ a_{11},~a_{12},~a_{22} $

отличен от нуля.

И далее:


Через эксцентриситет
Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

$ y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0). $

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось ''Ox'' является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых $ \varepsilon \geqslant 0 $ (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно.

Кроме того, при $ \varepsilon = 0 $ кривая является окружностью,

при $ \varepsilon < 1 $ — эллипсом,

при $ \varepsilon = 1 $ — параболой,

при $ \varepsilon > 1 $ — гиперболой.

то есть, манипулируя одним параметром - $ \varepsilon $ получаем переход от эллипса к окружности.

У меня нет мании величия, поэтому я просто спрашиваю:

Где я ошибаюсь?
.

[Sonic86]

Или я тоже ничего не понимаю, или в 3-хмерном пространстве квадратичных форм $Ax^2+Bxy+Cy^2$ один и тот же эллипс задается одномерным классом эквивалентности $kax^2+kbxy+kcy^2$ для любого $k \in \mathbb{R}$.

[gris]

Чисто по житейски.
Окружность с центром в нуле определяется только радиусом.
Эллипс с центром в нуле определяется большой полуосью, малой полуосью и углом поворота.

Окружность сколько ни крути останется собой,
А эллипс только поверни и он уже другой.
Кивай потом на полуось,
На эксцентриситет,
Молись, сагиб, чтоб не пришлось
за всё давать ответ.

Вольный перевод из Редьярда К.

[ewert]

"Я Арнольда не читал, но скажу." Многообразие эллипсов (при фиксации положения центра, например) действительно трёхмерно. Эллипс действительно может задаваться тройкой параметров $A,B,C$. А может -- и тройкой $a,b,\varphi$. Только вот многообразия эти топологически различны. В первом случае -- это внутренность одной половинки конуса в декартовых координатах $A,B,C$. А вот во втором -- это что-то вроде двух трёхгранных углов, склеенных по одному из рёбер. Если бы мы задали уравнение типа $a=2b$, то действительно получили бы двумерное подмногообразие. Однако $a=b$ -- случай исключительный: мы вот как раз на то ребро и попадаем, а на нём параметр $\varphi$ не определён.

[m_еugene]

Вы хотите сказать, что для описания отличия одного эллипса от другого необходимо использовать три параметра:

1. Большая полуось
2. Малая полуось
3. Поворот.

Действительно, это так - три параметра для отличия одного эллипса от другого.

Однако топологически бублик ничем не отличается от кофейной чашки - и там и там двусвязное тело.

Ведь мы рассматриваем эллипс сам по себе,
его параметры не могут зависеть от точки наблюдения - то есть от поворота системы координат,
которая задаётся извне и не влияет на собственно эллипс.

Может быть, ключевыми словами в цитате от В.Арнольда являются

в многообразии всех эллипсов?
.
Но тогда возможно ли распространять свойства эллипса, полученные внутри своего многообразия эллипсов, на n-мерное пространство?

Далее у В.Арнольда цитируется теорема Вигнера-фон Неймана:

Теорема . . . . утверждает, что и для эллипсоидов в n-мерном пространстве при любом n подмногообразие эллипсоидов вращения имеет коразмерность два, так что ни для эллипсоида общего положения, ни для членов однопараметрического семейства общего положения эллипсоиды вращения не встречаются.

То есть мы сначала различаем эллипсы в том числе и по повороту,
а затем на основании этого различия применяем сиё к
"общему положению", которое не делает различия по повороту.

Особенно вводит меня в уныние

" . . . . ни для эллипсоида общего положения .. . эллипсоиды вращения не встречаются".

Как же так? А куда они делись?
.

[paha]

Сорри за много букв.

m_еugene в сообщении #298602 писал(а):

то есть, манипулируя одним параметром - $ \varepsilon $ получаем переход от эллипса к окружности.

Тут противоречия нет. Из любой точки трехмерного многообразиия можно попасть в любую другую точку "манипулируя одним параметром".

Sonic86 в сообщении #298615 писал(а):

Или я тоже ничего не понимаю, или в 3-хмерном пространстве квадратичных форм $Ax^2+Bxy+Cy^2$ один и тот же эллипс задается одномерным классом эквивалентности $kax^2+kbxy+kcy^2$ для любого $k \in \mathbb{R}$.

Арнольд имеет ввиду, что квадратичная форма $Ax^2+Bxy+Cy^2$ задает кривую $Ax^2+Bxy+Cy^2=1$ (и задается этой кривой).

ewert в сообщении #298631 писал(а):

"Я Арнольда не читал, но скажу." Многообразие эллипсов (при фиксации положения центра, например) действительно трёхмерно. Эллипс действительно может задаваться тройкой параметров $A,B,C$. А может -- и тройкой $a,b,\varphi$. Только вот многообразия эти топологически различны. В первом случае -- это внутренность одной половинки конуса в декартовых координатах $A,B,C$. А вот во втором -- это что-то вроде двух трёхгранных углов, склеенных по одному из рёбер. Если бы мы задали уравнение типа $a=2b$, то действительно получили бы двумерное подмногообразие. Однако $a=b$ -- случай исключительный: мы вот как раз на то ребро и попадаем, а на нём параметр $\varphi$ не определён.

Конечно, это одно и то же многообразие, гомеоморфное ${\mathbb R}^3$. В первом случае (внутренность половинки конуса) это видно сразу, а в координатах $a,b,\varphi$ они же $p,\varepsilon,\varphi$ ($\varepsilon=\sqrt{1-b^2/a^2}$, $p=b^2/a$)это вот как выглядит:

$$ \{(p,\varepsilon,\varphi): (p,0,\varphi)\sim (p,0,\psi)\}={\mathbb R}_+\times [0;1)\times S^1/(p,0,\varphi)\sim (p,0,\psi)\simeq {\mathbb R}^3 $$

явный диффеоморфизм: $(p,\varepsilon,\varphi)\mapsto (\tg(\pi\varepsilon/2)\sin{2\varphi},\tg(\pi\varepsilon/2)\cos{2\varphi},\ln p)$

m_еugene в сообщении #298661 писал(а):

Ведь мы рассматриваем эллипс сам по себе,
его параметры не могут зависеть от точки наблюдения - то есть от поворота системы координат,
которая задаётся извне и не влияет на собственно эллипс.

Мы рассматриваем эллипс не сам по себе, а как элемент многообразия. Вот, к примеру, плоскость состоит из точек... все точки сами по себе одинаковые... Однако координаты у них разные:^)

Конечно, на множестве всех эллипсов с центром в начале координат действует группа изометрий (вращения относительно начала координат). Фокторпространство гомеоморфно полуплоскости, его элементами и являются те эллипсы, которые Вы имеете ввиду...

Формально: Пусть $E$ -- "множество эллипсов с центром в начале координат". Метрика Хаусдорфа (например) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 превращает $E$ в метрическое (а значит и топологическое)
пространство. Гомеоморфизм $c:E\to{\mathbb R}^3$, ставящий в соответствие эллипсу $E_{p,\varepsilon,\varphi}$ с данными параметром, эксцентриситетом и главной осью точку

$$ c(E_{p,\varepsilon,\varphi})=(\tg(\pi\varepsilon/2)\sin{2\varphi},\tg(\pi\varepsilon/2)\cos{2\varphi},\ln p) $$

является картой на $E$, превращая это топологическое пространство в гладкое многообразие, при этом множество окружностей при отображении с переходит в прямую (аппликата).

m_еugene в сообщении #298661 писал(а):

Теорема . . . . утверждает, что и для эллипсоидов в n-мерном пространстве при любом n подмногообразие эллипсоидов вращения имеет коразмерность два, так что ни для эллипсоида общего положения, ни для членов однопараметрического семейства общего положения эллипсоиды вращения не встречаются.

То есть мы сначала различаем эллипсы в том числе и по повороту,
а затем на основании этого различия применяем сиё к
"общему положению", которое не делает различия по повороту.

Эллипсоид общего положения не является эллипсоидом вращения. Какой смысл в высказывании "общее положение, не делает различия по повороту"?

Выражаясь простым языком, Арнольда (теорему Вигнера-фон Неймана) можно пересказать так (в моем пересказе утверждение ослаблено): пусть $E_n$ -- множество эллипсоидов в ${\mathbb R}^n$ с центром в начале координат и $R_n\subset E_n$ -- множество эллипсоидов вращения; если $A,B\in E_n\setminus R_n$, то существует гладкий путь $\gamma:[0;1]\to E_n\setminus R_n$ соединяющий $A$ и $B$ (гладкий путь=гладкое семейство эллипсоидов)... Т.е. $E_n\setminus R_n$ линейно-связно.
Точный пересказ был бы таким: для любого пути $\gamma:[0;1]\to E_n$ с концами $A,B\in E_n\setminus R_n$ существует сколь угодно близкий к нему путь с теми же концами, который не пересекает множество $R_n$.