Уравнение Пуассона-Больцмана

[Eiktyrnir]

OroHeK писал(а):

я уже давно об этом подумываю, но возникает вопрос: можно ли брать натуральный логарифм от производной? и надо полагать, что применяя итерационный метод решения, будет найдено значение $ln(y)$, т.е. потом нужно будет провести обтатную операцию?

Зачем даже ненадо итерировать...
Дык а че думать. Решение этого "эвристического" уравнения будет
$y(x)=y_1+y_2$, где $y_1$-решение общего однородного, а $y_2$ - частного неоднородного...
или ... Общее однородное решение вот этого найти не сложно, ведь так?
$y^{''}(x)=e^{-y(x)}$ - общее однородное (правда решение - будет неяная функция - да ну и что)...
ну и все ... а потом там будет 2 константы - которые либо варьируем, либо находим из вида частного неоднородного решения - все, начальные условия есть и т.д.

-- Пт фев 26, 2010 13:58:35 --

OroHeK писал(а):

смогу, только боюсь нужно мнение мэтра, без авторитетного согласия или опровержения как-то боюсь ввести себя и других в заблуждение....

Да ладно чего там. Счас вот мэтр как возьмет и скажет - что "сукины дети" снова маетесь ХЗ чем (шутка). Вообще говоря конечно полуспекуляция, но тем не менее лучше чем вообще ничего. Вам как я понимаю нужен результат - так получите его (понятно что не любыми способами - но ведь это же не любой). ... не бойтесь (в первый раз не страшно на грабли наступать)...

[Eiktyrnir]

OroHeK писал(а):

"картина маслом" все еще прежняя?

Немного другая, но тоже маслом...

OroHeK писал(а):

"или, если сгруппировать
$x<0$

Вообщем для этого случая (случай с $x>0$ решается аналогично) получил некое трансцендентное уравнение, которое является точным аналитическим решением данного однородного (как говорится "без купюр").
Т.е. решением вот этого уравнения
$\frac{{{d^2}V(x)}}{{d{x^2}}} - \frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\frac{{n_i^2}}{{{N_d}}}{e^{ - \frac{{V(x)}}{{kT}}}}=0$
будет (ну это и ежу понятно что так)

$$\frac{C_1+\sqrt{C_1^{2}-\frac{2\alpha^2exp^{(-\rho^{2}V(x)})}{\rho^2}}}{C_1-\sqrt{C_1^{2}-\frac{2\alpha^2exp^{(-\rho^{2}V(x)})}{\rho^2}}}=C_2exp^{\frac{\rho^{2}x}{2\alpha^{4}}$$

, где
$\alpha^2=\frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\frac{{n_i^2}}{{{N_d}}}$, $\rho^2=\frac{1}{kT}$.
Но поскольку у нас уравнение неоднородное, то очевидно, что придется варьировать коэффициенты $C_1$ и $C_2$. А это (надо заметить) весьма неудобное занятие в этом случае.

[peregoudov]

OroHeK в сообщении #292391 писал(а):

\[\begin{array}{l} x < 0 \\ \frac{{{d^2}V(x)}}{{d{x^2}}} = - \frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\left\{ {{N_d}\left( {{e^{ - \frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right) - \frac{{n_i^2}}{{{N_d}}}\left( {{e^{\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right)} \right\} \\ x > 0 \\ \frac{{{d^2}V(x)}}{{d{x^2}}} = \frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\left\{ {{N_a}\left( {{e^{\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right) - \frac{{n_i^2}}{{{N_a}}}\left( {{e^{-\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right)} \right\} \\ \end{array}\]

Поскольку в эти уравнения "x" явно не входит, то они решаются подстановкой $dV/dx=f(V)$. Решение выписывается в квадратурах.

[Eiktyrnir]

peregoudov в сообщении #293012 писал(а):

OroHeK в сообщении #292391 писал(а):

\[\begin{array}{l} x < 0 \\ \frac{{{d^2}V(x)}}{{d{x^2}}} = - \frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\left\{ {{N_d}\left( {{e^{ - \frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right) - \frac{{n_i^2}}{{{N_d}}}\left( {{e^{\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right)} \right\} \\ x > 0 \\ \frac{{{d^2}V(x)}}{{d{x^2}}} = \frac{{{e^2}}}{{\varepsilon {\varepsilon _0}}}\left\{ {{N_a}\left( {{e^{\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right) - \frac{{n_i^2}}{{{N_a}}}\left( {{e^{-\frac{{V(x)}}{{kT}}}} - 1} \right)} \right\} \\ \end{array}\]

Поскольку в эти уравнения "x" явно не входит, то они решаются подстановкой $dV/dx=f(V)$. Решение выписывается в квадратурах.

Именно эта подстановка и пришла мне сегодня утром в голову когда я увидел тоже самое, что и peregoudov. Действительно $x$ явно не входит в уравнения - значит порядок понижается той самой постановкой о которой сказал уважаемый peregoudov.

Кстати да, все гениальное просто. Можно сразу неоднородное решать - там интеграл ну чуть-чуть сложнее чем у однородного диффура, но тоже берется весьма просто.

[OroHeK]

"ушел интегрировать"